MATERIALES Y RECURSOS EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

MATEMÁTICOS EN LA HISTORIA

* La Historia del número 1 

* La música de los números primos  

* El cero       

* El infinito       

* El número e       

* El número PI

   S. XVIII a.C.

   - Las Matemáticas en el Antiguo Egipto  

   S. VII a.C.

    - Las Matemáticas en Esparta

   S. VI a.C.

    - Los Pitagóricos

    - La Teoría de Números  

    - Buda y los átomos

   S. V a.C.

    - La Paradoja de Zenón  

   S. III a.C.

    - El tamaño de la Tierra 

   S. IV

    - Hypatia de Alejandría

    S. XII

    - Fibonacci y los problemas del Liber Abaci 

    S. XV

    - Recetas de cálculo

    - Paseo matemático por el imaginario renacentista

   S. XVI

    - La aventura de la ecuación cúbica

   S. XVII

    - La primera función 

    - Biografía de Galileo

    - La necesidad del Cálculo Diferencial

    - La derivada, el lenguaje del movimiento

    - Logaritmos

    - Apuestas provechosas  

   S. XVIII

    - Los puentes de Königsberg 

   S. XIX

    - Abel: el gran cambio del Álgebra

   S. XX

    - Hilbert: un desafío de 23 problemas

    - Solidaridad entre matemáticos 

    - Crisis en los Fundamentos

    - Estadística bélica. El anuncio que cambió la II G. Mundial             

MATEMÁTICAS EN LOS DEPORTES

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas se utilizan para todo tipo de actividades. Muchas veces ni siquiera lo percibimos pero sus funciones son casi indispensables para la mayoría de las cosas que hacemos en nuestra vida cotidiana. Un ejemplo claro está en las actividades deportivas. A continuación veremos varios casos en que esto queda demostrado.

PROPÓSITO

Con este recurso queremos demostrar que el aspecto lúdico de la Matemáticas es una faceta a veces olvidada pero que habrá que tener en cuenta, ya que a través del juego podemos introducir a los niños en la resolución de problemas, enigmas, acertijos, de forma más gratificante y motivadora.

Bertrand Russell decía: "Con el número se puede demostrar cualquier cosa"; a lo que agregaríamos, con la Educación Física, podemos demostrar que los aprendizajes pueden ser más naturales y significativo.

Decidimos investigar este tema ya que queremos profundizar nuestros conocimientos y relacionarlos con otros. En este trabajo investigaremos cómo está afectada nuestra vida por las matemáticas y particularmente las actividades deportivas.

OBJETIVOS

* Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

* Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

* Utilizar un lenguaje correcto, con el vocabulario específico de las matemáticas, en la exposición y resolución de problemas.

NOS PREGUNTAMOS:

¿Cómo está relacionada la matemática con el deporte?

¿Realmente la matemática es imprescindible para el desarrollo de los deportes?

¿Son concientes las personas de ello?

DESTINATARIOS

Orientamos nuestro trabajo a los alumnos de sexto año de la escuela

Sexo	Femenino: 50% Masculino: 50%
Edad promedio	11-12 años
Lugar de residencia	Ciudad Las Piedras Láminas
Nivel socio-económico	Bajo-Medio

Preguntas:

1- ¿Sabes si las matemáticas se aplican a los deportes?

2- ¿En qué aspectos deportivos ves que se aplican?

3- ¿Practicas algún deporte regularmente?

4- ¿Dónde crees que se apliquen las matemáticas en los deportes que realizas?

Obtuvimos las siguientes respuestas:

1- Si________90%
    No_______10%

2- En las puntuaciones: 50%
En las medidas de las canchas: 30%
En las pelotas: 5%
En los equipos: 15%

3- Si_________80%
    No________20%

4 - En la velocidad: 45%
En los saltos: 25%
En las distancias: 10%
En las puntuaciones: 20%

ACTIVIDADES DESARROLLADAS

* Buscamos información del tema en Internet (usamos la XO); también en la biblioteca de la escuela.

* Realizamos la encuesta a los niños de sexto año.

* Graficamos los datos obtenidos.

INFORMACIÓN OBTENIDA

A continuación citaremos algunos ejemplos en los cuales se evidencia la inevitable presencia de la matemática en las actividades deportivas:

* En los deportes, se usa mucho la matemática: promedios de goles, puntos por partidos, porcentaje de atajadas.

Todos estos son términos matemáticos que fascinan a todo amante de los deportes.

* Un jugador de baloncesto, como cualquier saltador, está sometido a las leyes del tiro parabólico.

Galileo Galilei llegó a la conclusión de que dicha trayectoria, despreciando la resistencia del aire, es una parábola cuya ecuación puede obtenerse mediante el uso de las matemáticas.

Galileo estableció a partir de dicha ecuación la inclinación necesaria para alcanzar la máxima distancia.

* El balón de rugby tiene forma de óvalo, una figura geométrica de curvas cerradas que se compone de cuatro arcos de circunferencia tangentes entre si. Esto significa que:

- En el punto de cada dos de estos arcos, existe una sola tangente, común para los dos.

- Por lo tanto, los centros de cada dos arcos contiguos, tienen que estar alineados con el punto de tangencia.

* El campo de fútbol debe tener las siguientes dimensiones:

-Medidas máximas: 120 metros de largo por 90 metros de ancho, para partidos nacionales, y 110 por 75 metros para los partidos internacionales.

-Modo de marcado: con líneas visibles de 12 cm. de ancho, banderín en cada esquina no más alto que 1,5 m., trazado en el medio campo un círculo de 9,15 m. de radio.

-Área de meta o área chica: se marca una línea de 5,5 m desde cada poste, adentrándose en el terreno perpendicularmente 5,5 m. uniéndose las tres líneas.

-Área penal o área grande: se marca una línea de 16,5 m. desde cada poste, adentrándose en el terreno perpendicularmente 16,5 m., uniéndose las tres líneas.

-Punto de penal: a 11 m. de la línea de meta.

-Semicírculo de área grande: se traza un arco de 9,15 m. de radio desde el punto de penal.

-Portería: se coloca equidistante a las dos esquinas con una distancia entre los postes de 7,32 m.(medida interior), y unidos por un travesaño en sus extremos superiores a una altura de 2,44 m.. El grueso de estos elementos no puede superar los 12 cm.

En la gimnasia artística las puntuaciones que consiguen los participantes siempre son números decimales porque resultan de la suma de cuatro de los seis jueces (la mejor y peor puntuación se anula) y, por tanto, se produce una división que casi siempre dará una cifra decimal.

* Las dimensiones de una pelota de golf: ésta debe guardar siempre unas medidas uniformes e invariables, refiriéndose al peso, tamaño, simetría esférica, velocidad inicial y distancia total medida.

El peso de la bola no debe ser superior a 45,93 gramos. El diámetro no será menor de 42,67 milímetros. Se cumplirá esta especificación si bajo su propio peso una bola cae a través de un anillo, calibrado a 42,67mm., en menos de 25 a 100 posiciones elegidas al azar. La prueba debe efectuarse a una temperatura de 23ºC.

La pelota tendrá mayor recorrido si tiene hoyuelos. Al volar por el aire, su velocidad disminuye, y luego la pelota cae al suelo. La resistencia del aire(fuerza que se opone al movimiento de la pelota) es menor gracias a que la bola tiene estos curiosos hoyuelos.En el golpeo, por lo regular la pelota comienza a dar vueltas y continúa girando mientras se encuentra en el aire. La manera en la que gira, determinará dónde caerá la pelota. Puede ir en línea recta (y subir) o formará una curva hacia la derecha o izquierda.

* Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

* Siempre que se acerca la disputa de un Mundia de Fútbol, surgen los pronósticos acerca de un posible resultado. Para ello se puede recurrir a la probabilidad matemática, que nació ligada sobre todo a los juegos de azar.

* La pelota de fútbol está formada en su totalidad por hexágonos y pentágonos, es decir, por polígonos, que se definen como la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Dentro de un polígono se pueden diferenciar los siguientes elementos:
- lados: son los segmentos que forman la línea poligonal.
- vértices: son los extremos de los lados del polígono.
- ángulos: son los formados por dos lados contiguos.
- diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no adyacentes.

* Los Juegos Olímpicos siempre premiaron a los atletas más destacados a título individual. Pero en los últimos años ha tomado gran fuerza una clasificación oficiosa de países según el número de medallas conseguido. Pero, obviamente, todos los países no tienen la misma población ni por lo tanto la misma posibilidad de obtener deportistas de élite.

LAS CANCHAS

Un aspecto muy importante en muchos de los deportes es la exactitud con que deben construirse las canchas donde se desarrollan los mismos.Veremos algunas imágenes de la importancia de las medidas de las mismas y el modo en que las matemáticas resultan fundamentales para ello.

CONCLUSIÓN

Hemos comprobado que las matemáticas están íntimamente relacionadas con el deporte. Lo vemos en casi todos sus aspectos, ya sea en las medidas que se necesitan tomar para delimitar el campo de juego, como la velocidad que requiere un jugador para alcanzar una pelota o el ángulo que tiene que pegarle para que ésta llegue al arco.

Además descubrimos, a través de la encuesta realizada a los niños, que éstos se encuentran sumamente motivados por el tema y que buscan saber más acerca de las cuestiones realizadas.

RECURSOS DIDÁCTICOS EN LÍNEA

TIPOS DE TRIÁNGULO

PLANO CARTESIANO

TIPOS DE ÁNGULOS

TRAZOS DE PUNTOS EN UN CUADRANTE

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

TEOREMA DE PITÁGORAS

EXPRESIONES

PARÉNTESIS

LEY DE LOS SIGNOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

MATEMÁTICAS

Mediante el estudio de las matemáticas se busca que los niños y jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expresar matemáticamente situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales, así como utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas; al mismo tiempo, se busca que asuman una actitud positiva hacia el estudio de esta disciplina y de colaboración y crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen como en otros diferentes.

Para lograr lo anterior, la escuela deberá brindar las condiciones que hagan posible una actividad matemática verdaderamente autónoma y flexible, esto es, deberá propiciar un ambiente en el que los alumnos formulen y validen conjeturas, se planteen preguntas, utilicen procedimientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos matemáticos socialmente establecidos, a la vez que comunican, analizan e interpretan ideas y procedimientos de resolución. La actitud positiva hacia las matemáticas consiste en despertar y desarrollar en los alumnos la curiosidad y el interés por investigar y resolver problemas, la creatividad para formular conjeturas, la flexibilidad para modificar su propio punto de vista y la autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas; asimismo, consiste en asumir una postura de confianza en su capacidad de aprender.

La participación colaborativa y crítica resultará de la organización de actividades escolares colectivas en las que se requiera que los alumnos formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, poniendo en práctica tanto las reglas matemáticas como socioculturales del debate, que los lleven a tomar las decisiones más adecuadas a cada situación.

LA TRANSMISIÓN DEL CONOCIMIENTO

Considerando que la matemática es un “objeto de enseñanza”, este puede transmitirse. Quien posee el conocimiento puede ofrecerlo a quien no lo posee, sin riesgo de que el conocimiento se modifique en el proceso de transmisión.

La tarea del profesor consiste en “inyectar” el conocimiento en la mente del estudiante a través de un discurso adecuado. El estudiante por su parte, no puede modificar la estructura del discurso, su tarea consiste en decodificarlo. La didáctica bajo este punto de vista, busca optimizar la tarea del profesor mediante una especie de combinatoria de contenidos, generalmente apoyada en preceptos universales, y poniendo especial énfasis en el contexto de la justificación, como estado superior del conocimiento.

La evaluación del aprendizaje, bajo esta concepción, queda definida de manera clara: los mismos contenidos que el profesor transmite inequívocadamente mediante su discurso, serán demandados al estudiante, quien deberá responder con un discurso análogo. Aunque se reconocen diferencias entre los estudiantes (de inteligencia, de actitud, de motivación) estas diferencias se borran al solicitar respuestas únicas y universales, centradas principalmente, en el contexto de justificación.

HABILIDADES  IMPORTANTES  PARA  RAZONAR

Un examen de los artículos de cualquier revista de educación matemática, muestra que lo que constituye el razonamiento matemático está sujeto a muchas interpretaciones diferentes. En lugar de tratar de formular una definición explícita de razonamiento matemático, consideremos algunas características suyas. Una persona al razonar matemáticamente:

Estudia un problema y decide qué tipo de respuesta se requiere.

Usa su flexibilidad mental al trabajar con diferentes clases de números.

Selecciona las estrategias apropiadas.

Reconocen que existen varias soluciones y no tiene temor de abandonar una estrategia en favor de otra.

Revisa si los resultados son razonables.

Si estos pasos parecen los apropiados para resolver problemas, es porque lo son. El resolver problemas y el razonamiento matemático son inseparables. Aún así, esta lista no es exhaustiva, ni son las características mutuamente excluyentes. Sin embargo, bosquejan algunos procesos clave de razonar que pueden ser desarrollados por la enseñanza de la estimación. 

EL  PAPEL  DE  LA  ESPISTEMOLOGÍA  EN  LA  PRÁCTICA  EDUCATIVA

Cada vez más los autores que reconocen explícitamente el hecho de que las posiciones filosóficas y las teorías epistemológicas relativas al conocimiento matemático ejercen una influencia determinante sobre educación matemática.

Entendemos “Educación Matemática” en un sentido amplio, es decir, no sólo la labor que realiza el profesor dentro del salón de clase, sino que nos referimos, además, a aquellos otros factores que intervienen y hacen posible que la matemática se enseñe y se aprenda; estos factores son: el diseño y el desarrollo de planes y programas de estudio, los libros de texto, las metodologías de la enseñanza, las teorías del aprendizaje, la construcción de marcos teóricos para la investigación educativa.

El actor o los actores que intervienen para dar cuerpo a los factores mencionados arriba, lo hacen, explícita o implícitamente desde sus personales convicciones filosóficas y epistemológicas respecto a la matemática. Es decir, las concepciones que ellos tienen sobre “lo que es la matemática” y “lo que es el conocimiento matemático”, permean los elementos que conforman los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.

Intuicionismo, formalismo, logicismo, constructivismo, empiricismo, estructuralismo y demás “ismos”, han tenido, en su momento, una influencia significativa para guiar las ideas y demarcar los principios que rigen la educación matemática.

No quiere decir esto que todos los profesionales de la educación matemática están “inscritos” en alguna escuela filosófica. En muchos casos, se trata, simplemente, de las opiniones “privadas” del profesor, del autor de textos, del profesional que diseña los planes y programas o del investigador, acerca de la naturaleza de la matemática y del conocimiento matemático y a sus convicciones de cómo éstas se relacionan con la labor de la enseñanza y con el aprendizaje de los estudiantes. A menudo estas opiniones han sido indirectamente adquiridas o heredadas a través de su propia formación, pero frecuentemente, también obedecen a tendencias o modas de corrientes internacionales que, en ocasiones, son incompatibles con las primeras.

EL PREMIO DE LOS MARINEROS

EL   PREMIO   DE   LOS   MARINEROS

  

En esta actividad trabajaremos con un problema adaptado de una anécdota narrada en el hermoso libro “El hombre que calculaba” cuya lectura recomendamos ampliamente. El problema es el siguiente:

El capitán de un barco anuncia que a la mañana siguiente, al desembarcar a tres de sus marineros les sería repartida como recompensa una cantidad de monedas de oro que colocó en una bolsa. Uno de los marineros despierta antes que los demás y decide tomar su parte de la recompensa por adelantado. Al querer distribuir en partes iguales las monedas se dio cuenta que la división no era exacta ya que sobraba una moneda. Para evitar problemas con sus compañeros, tiró la moneda sobrante al mar, tomó su parte y se fue a dormir de nuevo. Por la mañana el ayudante del capitán que desconocía la cantidad original de monedas en la bolsa, sustrajo una de ellas para él y enseguida reunió a los tres marineros a los que repartió equitativamente el resto. Si el ayudante del capitán entregó 23 monedas a cada uno de los tres marineros. ¿Cuántas monedas había en la bolsa originariamente y cuántas le tocaron al marinero madrugador?

Supongamos ahora que los tres marineros se hubieran levantado por la noche (en diferentes momentos) y decidido, cada uno, tomar su parte por adelantado. Supongamos también, que cada uno de los tres se hubiera encontrado con la misma situación que el marinero madrugador de arriba y hubiera procedido en la misma forma que éste, es decir, tirar una moneda de la bolsa al mar, dividido las restantes en tres partes iguales y tomar una de esas partes para él, dejando las restantes para que fueran repartidas.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto, dándole a cada marinero 23 monedas, ¿cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?

DETERMINANDO   CANTIDADES   NUMÉRICAS

Utilizando la calculadora, resuelva cada uno de los siguientes problemas.

     * Encuentre un número que multiplicado por 0.4 de un resultado mayor que 4.3, pero menor que 4.31

     * Encuentre un número que al dividirlo entre 0.25 de un resultado mayor que 3.24, pero menor que 3.25

     * Entre cuánto hay que dividir el número 8.375 para que el resultado sea menor que 41.9, pero mayor             que 41.8

     *  Determine tres números enteros consecutivos, tales que su producto sea 15 600

     * Determine cinco números pares consecutivos, cuya suma sea 1 800

LAS MONEDAS DEFECTUOSAS

LAS   MONEDAS   DEFECTUOSAS

Juan es un estudiante muy inquieto e ingenioso que acostumbra retar a sus compañeros y a veces también a sus maestros con problemas diversos. El que proponemos en esta actividad, se lo planteó a varios de sus compañeros diciéndoles que estaba dispuesto a pagar cien pesos a quien ideara una estrategia, al menos tan breve como la que él había diseñado para resolverlo. El problema es el siguiente:

Se tienen diez bolsas, todas iguales, conteniendo diez monedas cada una. Las monedas de nueve de las bolsas son auténticas y todas iguales, mientras que una de las bolsas contiene monedas falsas. Las monedas falsas sólo se distinguen de las auténticas porque pesan un gramo menos, esto es, cada moneda auténtica pesa diez gramos, mientras que cada moneda falsa pesa sólo 9 gramos. El problema consiste en determinar cuál es el número mínimo de pesadas que es necesario hacer para saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas.

Juan dijo a sus amigos que él ideó una manera de saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas y que es una forma en la que usa muy poquitas pesadas, pero que si alguien logra una forma de saberlo en menos pesadas que él, le dará cien pesos.

Diseñen una estrategia para saber cuál es la bolsa de las monedas falsas, procurando hacerlo en el menor número de pesadas, luego comparen sus estrategias para ver quién lo logró en menos pesadas. Si alguno lo hizo en menos pesadas que Juan, se habrá ganado cien pesos.

MATEMÁGICAS

BIENVENIDO AL PAÍS DE LAS MATEMÁTICAS MÁGICAS, INGENIOSAS Y MUY SERIAS

http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm