El Premio Problemas del Milenio son siete problemas de matemáticas que fueron indicados por el Instituto Clay de Matemáticas en 2000. A partir de julio de 2013, seis de los problemas siguen sin resolverse. Una solución correcta para cualquiera de los problemas resulta en un premio de 1.000.000 de dólares EE.UU. (a veces llamado un Premio del Milenio) está otorgado por el instituto. La conjetura de Poincaré, el único Premio Millennium de problemas que hay que resolver hasta el momento, fue resuelto por Grigori Perelman, pero él declinó el premio en 2010.
P contra NP
La cuestión es si, para todos los problemas para los que un algoritmo puede verificar una determinada solución rápida (es decir, en el tiempo polinomio), un algoritmo puede también encontrar esa solución rápidamente. La primera describe la clase de problemas llamados NP, mientras que el segundo describe P. La pregunta es si es o no todos los problemas de NP están también en P. Esto es generalmente considerado una de las preguntas abiertas más importantes de las matemáticas y la informática teórica, ya que tiene importantes consecuencias para otros problemas en las matemáticas y la biología, la filosofía y la criptografía (ver P contra NP problemáticas consecuencias de prueba).
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"Si P = NP, entonces el mundo sería un lugar profundamente diferente de lo que normalmente asumimos que sea. No habría ningún valor especial en los "saltos creativos, 'hay brecha fundamental entre la solución de un problema y reconocer la solución una vez que se encuentre. Todos los que pudieron apreciar una sinfonía sería Mozart, todo el mundo que podía seguir un argumento paso a paso sería Gauss ... "
- - Scott Aaronson, MIT
La mayoría matemáticos y científicos informáticos esperar que P ≠ NP.
La declaración oficial del problema fue dada por Stephen Cook.
La conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge es que para las variedades algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos.
La declaración oficial del problema fue dada por Pierre Deligne.
La conjetura de Poincaré (probado)
En topología, una esfera con una superficie de dos dimensiones se caracteriza por el hecho de que es compacto y simplemente conectado. La conjetura de Poincaré es que esto también es cierto en una dimensión más alta. La cuestión se había resuelto para todas las demás dimensiones. La conjetura es fundamental para el problema de la clasificación de las 3-variedades.
La declaración oficial del problema fue dado por John Milnor.
Una prueba de esta conjetura fue dada por Grigori Perelman en 2003, y su revisión se completó en agosto de 2006, y Perelman fue seleccionado para recibir la Medalla Fields por su solución, pero él se negó ese premio. Perelman fue concedido oficialmente el Premio del Milenio el 18 de marzo de 2010, pero también declinó el premio y el dinero del premio asociado de las Matemáticas Clay porque "la agencia de noticias Interfax citó a Perelman como diciendo que creía que el premio era injusto. Perelman dijo a Interfax que consideraba su contribución a la solución de la conjetura de Poincaré no mayor que el de la Universidad de Columbia el matemático Richard Hamilton ".
La hipótesis de Riemann
La hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales de la continuación analítica de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1 / 2 . Una prueba o refutación de esto tendría implicaciones de largo alcance en la teoría de números, especialmente para la distribución de los números primos. Este fue el octavo problema de Hilbert, y todavía se considera un importante problema abierto un siglo después.
La declaración oficial del problema fue dada por Enrico Bombieri.
Yang-Mills existencia y la masa brecha
En la física, la teoría clásica de Yang-Mills es una generalización de la teoría de Maxwell del electromagnetismo donde el cromo mismo campo electromagnético lleva cargos. Como teoría clásica de campos que tiene soluciones que viajan a la velocidad de la luz por lo que su versión cuántica debe describir las partículas sin masa (gluones). Sin embargo, el fenómeno postulado de confinamiento del color permite que sólo los estados consolidados de gluones, formando partículas masivas. Esta es la diferencia de masa. Otro aspecto de la reclusión es la libertad asintótica que le hace pensar que existe la teoría cuántica de Yang-Mills y sin restricción a las escalas de baja energía. El problema es el de establecer con rigor la existencia de la teoría cuántica de Yang-Mills y una brecha masiva.
La declaración oficial del problema fue dada por Arthur Jaffe y Edward Witten y estado reciente de Michael R. Douglas.
Navier-Stokes existencia y suavidad
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos. A pesar de que se encontraron en el siglo 19, que todavía no son bien entendidas. El problema es avanzar hacia una teoría matemática que le dará una idea de estas ecuaciones.
La declaración oficial del problema fue dada por Charles Fefferman.
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ocupa de un cierto tipo de ecuación, las que definen las curvas elípticas sobre los números racionales. La conjetura es que hay una manera fácil de decir si tales ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Décimo problema de Hilbert tratado con un tipo más general de la ecuación, y en ese caso se comprobó que no hay manera de decidir si una ecuación dada incluso tiene ninguna solución.
La declaración oficial del problema fue dada por Andrew Wiles.
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