CONCEPTO E HISTORIA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

CONCEPTO E HISTORIA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

 En este apartedo vamos a hablar del concepto y la historia de los cuerpos geométricos. Aunque este no es el eje de nuestro trabajo, creemos que tiene cierta importancia tratar un poco de historia para comprobar de dónde vienen los poliedros regulares y las diferentes concepciones que se han tenido de ellos a lo largo de las diferentes etapas de la historia. El concepto será más general y la historia se centrará en los poliedros regulares, ya que van a ser los que trataremos en nuestro trabajo posterior.

CONCEPTO:

     Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo y están compuestos por figuras geométricas.

Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:

* Los poliedros: O cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo;

 

* Los cuerpos redondos: Que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

Los poliedros son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente por superficies planas, que se denominan caras del poliedro. Se distinguen dos clases de poliedros:

* Los poliedros regulares: En los cuales todas las caras son iguales. Son cinco:
    * Cubo.
    * Tetraedro regular.
    * Octaedro regular.
    * Dodecaedro regular.
    * Icosaedro regular.

* Los poliedros irregulares: En los cuales no se trata de que todas sus caras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).

HISTORIA:

     Los "sólidos platónicos" han fascinado a todas las civilizaciones a lo largo de la historia, han sido sido símbolo de belleza ideal de ahí su presencia en la composición de muchas obras, artistas y teóricos renacentistas como Leonardo o Durero.

Neolítico: Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. El significado de los poliedros se remonta a los primeros estadios de la civilización, Critchlow (1979) da una prueba fehaciente de que ya eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las primeras culturas históricas europeas, como muestran la siguiente ilustración:

 Se considera que utilizaban místicamente cuando fueron observadas en la naturaleza en formas de cristales como la pirita, o en la forma de esqueletos de animales marinos.

     Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992) admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas tenían conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitiría a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras.

• Los pitagóricos:          

A la Escuela fundada por él se le atribuye el "descubrimiento" de los cinco sólidos platónicos, crayeron que sólo existen cinco poliedros regulares (aunque la demostración no llegara hasta Euclides), a los cuales llamaron sólidos cosmicos, ya que no recibirían su normbre de platónicos hasta que los tratara el autor que les da nombre, de todos ellos les fascinaba el dodecaedro en particular (debida a la presencia del pentágono en sus caras) cuya presencia escondieron a la sociedad por considerarlo demasido peligroso.

Platón: Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporaneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Los elementos de Euclides:  

Euclides sintió fascinación por dichos sólidos debido a que se formó en el ámbiente platónico de la "Academia de Atenas", fue él quien  quien dió la primera demostración sobre porque dichos poliedros eran sólo cinco y no más, a su vez asició dichos poliedros con los elementos fundamentales de la Tierra, de manera que al tetraedro le asoció el fuego, al hexaedro la tierra, al octoedro el aire, al icosaedro el agua y por último al dodecaedro el cosmos.

El Renacimiento:

     Los llamados artistas matemáticos del Renacimiento manifestaron gran interés por los poliedros, propiciado, por una parte, por los estudios platónicos sugeridos por la  reaparición de ciertos manuscritos con las obras de Platón, y por otra, debido a que estos sólidos servían como excelentes modelos en los estudios sobre perspectiva.

     El estudio más completo fue realizado hacia 1480 por Piero della Francesca en su obra "Libellus De Quinque Corporibus Regularibus", aparte de los tópicos euclídeos sobre poliedros, en esta obra se redescubren gradualmente los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semirregulares, que son trece cuerpos igualmente inscriptibles en una esfera con caras polígonos regulares de dos o tres tipos, siendo iguales los polígonos que resultan de unir puntos medios de aristas que concurren en un vértice.

La cosmología poliédrica de Kepler:

     Kepler fue totalmente seducido por la teoría de Platón y Pitágoras de modo que elaboró una cosmología basada en los cinco sólidos regulares, en la creencia de que estos serían la clave utilizada por el creador para la construcción de la estructura del Universo. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. Júpiter y Saturno, mientras que había infinitos polígonos regulares sólo existían cinco poliedros regulares. 

     Kepler pensó que los dos números estaban vinculados: «hay sólo seis planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares» y da una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados unos dentro de otros.  Al creer que había reconocido el esqueleto invisible del Universo en esas estructuras perfectas que sostenían las esferas de los seis planetas, llamó a su revelación "El Misterio Cósmico".

En los tiempos modernos: 

La famosa Fórmula de Euler que relaciona caras, vértices y aristas de un sólido platónico: «en todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a dos» (V – A + C = 2), es posible que fuera conocida por Teeteto y por Arquímedes, pero es Descartes quien primero la establece hacia 1635.

Euler la obtuvo de nuevo de forma independiente en 1752, dando una sencilla prueba inductiva. Hoy se estudia como un invariante topológico y es uno de los tópicos más representativos de la moderna Topología Algebraica. A partir de la Fórmula de Euler se puede demostrar por procedimientos muy elementales la proposición que culmina con broche de oro la composición de Euclides: la existencia de justamente cinco poliedros regulares distintos.

En el arte del siglo XXI: Gaudí, Escher y Dalí. 

Gaudí desarrolló una gran capacidad de utilizar todas las formas geométricas, se definía así mismo como geómetra («yo soy geómetra que quiere decir hombre de síntesis») y al considerar la naturaleza como fuente de inspiración de muchas de sus formas geométricas, Gaudí escribía: «en la naturaleza está el principio y el fin de todas las formas». No es extraño, pues, que las formas poliédricas fueran un tópico habitual para el genio.
Gaudí utilizó luces en forma de dodecaedro tanto en la cripta de la Sagrada Familia como en la catedral de Palma de Mallorca y es curioso saber que colgaban del techo de su obrador algunos poliedros, pero también los introduce en mcuhas de sus otras obras.

El autor Escher realiza grandes pinturas y grabaos en los que aparece si peculiaridad artística centrandose en las acpectos matemáticos, hasta el punto de que llega a escribir que él mismo no está seguro de si está haciendo Arte o Matemáticas.

Escher estaba fascinado por la misteriosa regularidad de las formas minerales, de ahí nace su interés por los poliedros, cuyas formas utilizará continuamente en los múltiples modelos de diversos materiales y en numerosos grabados donde los dibuja en diversas posiciones. Con el fin de tenerlos siempre presentes, Escher construyó con hilo y alambre un modelo de los cinco cuerpos platónicos, inscritos unos en otros.

Para Dalí, como para otros muchos artistas, la geometría proporciona importantes argumentos para la realización previa de la obra y su posterior análisis, en particular la Divina Proporción y los poliedros regulares, ya que además de aparecer en muchos de sus cuadros, asumen una función de orden cosmológico, científico, teológico y simbólico, en la aplicación constante de la Matemática a su pintura.  

     
PROPIEDADES: Son la "Regularidad", "Simetría" y "Conjugación". Que trataremos en el apartado: "Poliedros regulares"

     Teorema de Euler:

El teorema de Euler es muy importante y fundamental para entender los poliedros regulares, ya que la fórmula de dicho teorema es: C + V = A + 2   ó   

C + V - A = 2. El enunciado teórico de la primera fórmula es que el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, sumándole 2. El enunciado de la segunda fórmula dice que el número de caras, más el de vértices, menos el de aristas es siempre igual a 2. Son dos formas distintas de estudiar el mismo teorema. Con éste teorema se deducen una serie de consecuencias, que son las siguientes.

1) No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.
2) Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre sí el mismo número de aristas y que son: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.
3) La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como el número de vértices que tiene menos dos.