ELIPSOIDE

Un  elipsoide  es un tipo de superficie cuádrica que es un análogo dimensional superior de una elipse. La ecuación de un cuerpo elipsoide estándar alineado con el eje en una  xyz sistema de coordenadas cartesiano es-

donde  una x  y  un y  son el transversal, radios ecuatorial (a lo largo de las  x  y  Y  ejes) y  b  es el conjugado, el radio polar (a lo largo del  z -axis), todos los cuales se fijan los números reales positivos que determinan la forma del elipsoide (tradicionalmente,  un x y  un Y  se indican como  un  y  b , respectivamente, - definiendo de este modo el ecuador como una elipse - y  B  como  C , sin embargo, en la mayoría de los casos - como la Tierra - el ecuador se considera esférica, con el radio ecuatorial se define simplemente como  un  y el polo como  b - como una elipse - por lo tanto  un , b , c notación puede ser innecesariamente confuso).

Más generalmente, un elipsoide no-necesariamente-alineado con el eje se define por la ecuación

donde  A  es una matriz definida positiva y simétrica  x  es un vector. En ese caso, los vectores propios de  A  definen las direcciones principales de la elipsoide y el inverso de la raíz cuadrada de los valores propios son los correspondientes radios ecuatoriales.

Si todos los tres radios son iguales, el cuerpo sólido es una esfera; si dos radios son iguales, el elipsoide es un esferoide:

•  Esfera ;
•  Esferoide oblato , o  oblatum  (en forma de disco);
•  Prolato  esferoide o prolatum (como una pelota de rugby);
•  Escalenos  elipsoide ("tres lados desiguales").

Los puntos ( una x , 0,0), (0, una Y , 0) y (0,0, b ) se encuentran en la superficie y los segmentos de línea desde el origen a estos puntos se llaman los  ejes semi-principales . Estos corresponden a la semi-eje mayor y semi-eje menor de los appropriateellipses.

Elipsoides escalenos son frecuentemente llamados "elipsoides triaxiales", lo que implica que los tres ejes deben especificarse para definir la forma.

PARAMETRIZACIÓN

Utilizando las coordenadas comunes, si   es reducida, o de un punto  paramétrico de  latitud  y   es su longitud planetographic , un elipsoide se puede parametrizar.

VOLUMEN

El volumen de un elipsoide está dada por la fórmula

Tenga en cuenta que esta ecuación se reduce a la del volumen de una esfera cuando todos los tres radios elípticas son iguales, y a la de un esferoide achatado o alargado cuando dos de ellos son iguales.

De área de superficie

El área de la superficie de un elipsoide está dada por:

donde

es el ángulo modular, o  excentricidad angular ;  , y  ,   son las integrales elípticas incompletas de la primera y segunda clase.

En el caso de un esferoide, la anterior se simplifica a las expresiones de forma cerrada:

 Oblato:     prolato: 

Una fórmula aproximada para cualquier elipsoide es:

Donde  p  ≈ 1,6075 produce un error relativo de a lo sumo 1,061% (fórmula de Knud Thomsen); un valor de  p  = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides casi esféricas, con un error relativo de a lo sumo 1,178% (David W. Cantrell fórmula).

En el límite de "plano" de  la zona es de aproximadamente  , o más precisamente,

que, para un esferoide, se reduce a

Propiedades de masa 

La masa de un elipsoide de densidad uniforme es:

donde   es la densidad.

Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son:

donde  ,  y   son los momentos de inercia sobre las  x ,  y y  z  ejes, respectivamente. Productos de inercia son cero.

Se puede demostrar fácilmente que si  un x = a y = b , entonces los momentos de inercia se reducen a las de una esfera uniforme densidad.

A la inversa, si se conocen las inercias de masas y el principio de un cuerpo rígido arbitraria, un elipsoide equivalente de densidad uniforme se puede construir, con las siguientes características:

EQUILIBRIO RATATIONAL

Elipsoides escalenos y cuboides rotan de manera estable a lo largo de sus ejes mayores o menores, pero no a lo largo de su eje medio. Esto se puede ver experimentalmente lanzando una goma de borrar y muchos efectos. Además, momento de inercia consideraciones significa que la rotación a lo largo del eje mayor es más fácilmente perturbado que la rotación a lo largo del eje menor. Un efecto práctico de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos como generalmente rotan a lo largo de sus ejes menores (como lo hace la Tierra, que es meramente achatado) y, además, debido a la fijación de marea, lunas escalenos en órbita sincrónica, tales como los de la órbita de Saturno con su eje mayor alineado radialmente a su planeta.

Un elipsoide relajado, es decir, uno en equilibrio hidrostático, tiene un achatamiento  un x  - B  directamente proporcional a su densidad media y la radio medio. Elipsoides con una diferenciada interior, es decir, un núcleo más denso que el manto tiene un achatamiento menor que un cuerpo homogéneo. En general, la relación ( un Y -B ) / ( un x -b ) es de aproximadamente 0,25, aunque esto gotas para los cuerpos que giran rápidamente.

TRANSFORMACIÓN LINEAL

Si se aplica una transformación lineal invertible a una esfera, se obtiene un elipsoide, sino que se puede poner en la forma estándar por encima por una rotación adecuada, una consecuencia del teorema espectral. Si la transformación lineal está representado por una matriz simétrica 3-por-3, entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide: las longitudes de los semiejes se dan por los valores propios.

La intersección de un elipsoide con un plano está vacío, un único punto, o una elipse (incluyendo un círculo).

También se puede definir elipsoides en las dimensiones más altas, como las imágenes de las esferas bajo transformaciones lineales invertibles. El teorema espectral de nuevo se puede utilizar para obtener una ecuación estándar similar a la dada anteriormente.

FORMA DE HUEVO

La forma de un huevo de gallina es de aproximadamente la mitad que la de cada una alargada y más o menos esférica (achatado, potencialmente, incluso minorly) elipsoide unido en el ecuador, compartiendo un eje principal de simetría rotacional. Aunque el término  en forma de huevo- por lo general implica una falta de simetría de reflexión a través del plano ecuatorial, también puede referirse a los verdaderos elipsoides alargados. También se puede utilizar para describir la figura 2D que, giraba en torno a su eje mayor, produce la superficie 3D. Ver también ovalada.