NUEVE PUNTOS

En geometría, el  círculo de nueve puntos  es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado. Se llama así porque pasa a través de nueve puntos concíclicos significativos definidos desde el triángulo. Estos nueve puntos son los siguientes:

• El punto medio de cada lado del triángulo
• El pie de cada altitud
• El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo para el ortocentro (donde las tres alturas se encuentran; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes).

El círculo de nueve puntos también se conoce como el círculo de Feuerbach, círculo de Euler, el círculo de Terquem, el seis-puntos círculo, el doce puntos de círculo, el  n círculo de punto, círculo themedioscribed, mediados del círculo o la cir-midcircle.

Nueve Puntos Importantes

El diagrama de arriba muestra los nueve puntos significativos del círculo de nueve puntos. Puntos  D ,  E , y  F  son los puntos medios de los tres lados del triángulo. Puntos  T ,  H y  I  son los pies de las alturas del triángulo.Puntos  J ,  K , y  L  son los puntos medios de los segmentos de línea entre la intersección de cada altitud vértice (puntos  A ,  B , y  C ) y ortocentro del triángulo (punto  S ).

Para un triángulo agudo, seis de los puntos (los puntos medios y pies de altitud) se encuentran en el propio triángulo; para un triángulo obtuso dos de las altitudes tienen pies fuera del triángulo, pero estos pies todavía pertenecen al círculo de nueve puntos.

Descubrimiento

A pesar de que se le atribuye su descubrimiento, Karl Wilhelm Feuerbach no descubrió completamente el círculo de nueve puntos, sino más bien el círculo de seis puntos, reconociendo la importancia de los puntos medios de los tres lados del triángulo y los pies de las alturas de ese triángulo . ( Ver fig. 1, letras  D, E, F, G,

El círculo de nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita y circunferencias exinscritas

H,  y  I.) (En una fecha ligeramente anterior, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían declarado y demostrado el mismo teorema.) Pero poco después de Feuerbach, el propio matemático Olry Terquem probado la existencia del círculo. Él fue el primero en reconocer el significado añadido de los tres puntos medios entre vértices y theorthocenter del triángulo. ( Ver fig. 1, letras  J, K,  y  L.) Por lo tanto, Terquem fue el primero en utilizar el nombre de nueve puntos círculo.

Círculos Tangent

En 1822 Karl Feuerbach descubrió que nueve puntos del círculo de cualquier triángulo es tangente externamente a tres circunferencias exinscritas de ese triángulo y internamente tangente a la circunferencia inscrita; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach. Se postula que:

... Del círculo que pasa a través de los pies de las alturas de un triángulo es tangente a todos los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ...(Feuerbach 1822)

El punto en el que la circunferencia inscrita y la de nueve puntos círculo táctil se refiere a menudo como el punto de Feuerbach.