En teoría de números, un primer reptend completo o primer largo en la base b es un número primo p tal que la fórmula
(Donde p no divide b ) da un número cíclico. Por lo tanto, la expansión digital 
en la base b repite los dígitos del número cíclico correspondiente infinitamente. La base 10 puede suponer si no se especifica ninguna base.
en la base b repite los dígitos del número cíclico correspondiente infinitamente. La base 10 puede suponer si no se especifica ninguna base.
Los primeros valores de p para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en decimal son (secuencia A001913 en OEIS)
- 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 ...
Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142.857, por lo tanto, la figura 7 es un primer reptend completo.Por otra parte, 1 dividido por 7 en escrito en base 10 es 0,142857142857142857142857 ...
No todos los valores de p producirán una serie cíclica utilizando esta fórmula, por ejemplo p = 13 da 076923076923.Estos casos fallidos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios).
El patrón sabe que esta secuencia proviene de la teoría algebraica de números, en concreto, esta secuencia es el conjunto de los números primos p tales que 10 es una raíz primitiva módulo p. La conjetura de Artin en raíces primitivas es que esta secuencia contiene 37.395 ..% de los números primos.
El término "primer largo" fue utilizado por John Conway y Richard individuo en su Libro de los Números .Equivocadamente, OEIS de Sloane se refiere a estos primos como "números cíclicos".
El número cíclico correspondiente al primer p poseerá p - 1 dígitos si y sólo si p es un número primo reptend completo.
Los patrones de ocurrencia de los números primos reptend completos
Aritmética modular avanzado puede demostrar que cualquier flor de las siguientes formas:
- 40 K 1
- 40 K 3
- 40 K 9
- 40 K 13
- 40 K 27
- 40 K 31
- 40 K 37
- 40 K 39
puede nunca ser un primer reptend completo en base 10. Los primeros números primos de estas formas, con sus períodos, son:
| 40 K 1 | 40 K 3 | 40 K 9 | 40 K 13 | 40 K 27 | 40 K 31 | 40 K 37 | 40 K 39 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 41 período de 5 | 43 período de 21 | 89 período de 44 | 13 período de 6 | 67 período de 33 | 31 período de 15 | 37 período de 3 | 79 período de 13 |
| 241 período de 30 | 83 período de 41 | 409 204 período | 53 período de 13 | 107 período de 53 | 71 período de 35 | 157 período de 78 | 199 período de 99 |
| 281 período de 28 | 163 período de 81 | 449 período de 32 | 173 período de 43 | 227 período de 113 | 151 período de 75 | 197 período de 98 | 239 período de 7 |
| 401 período de 200 | 283 período de 141 | 569 período de 284 | 293 período de 146 | 307 período de 153 | 191 período de 95 | 277 período de 69 | 359 período de 179 |
Sin embargo, los estudios muestran que dos tercios de los primos de la forma 40 k + n , donde n ≠ {1,3,9,13,27,31,37,39} son números primos reptend completos. Para algunas secuencias, la preponderancia de los números primos reptend completo es mucho mayor.
Por ejemplo, 285 de los 295 números primos de la forma 120 k 23 por debajo de 100.000 son primos reptend completos, con 20.903 siendo el primero que no está lleno reptend.
Base 2 primos completas reptend
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293 ...... ((secuencia A001122 en OEIS))
todos ellos son 8k 3 o 8k 5.
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