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miércoles, 5 de marzo de 2014

LOS NÚMEROS PRIMOS

Los números primos son los números que sólo se pueden dividir entre si mismos y entre 1. 

Los números primos han sido siempre de interés y estudio.

Los números primos presentan todas las características para ser “adorados” por los discípulos de Pitágoras.



En esta tabla hay llamada Criba de Eratóstenes, tiene escritos hasta el número 150 y te dice cuales son primos y cuales no.

Los de color rojo son primos

Los de color amarillo no son primos.

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Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos.

Teorema.- Hay infinitos números primos.



LA FACTORIZACIÓN

 La factorización de los números naturales consiste en descomponer un número entero cualquiera en producto de números primos.  

La descomposición de los números en su factores primos facilita la determinación de su m.c.d. y m.c.m. Ejemplo:

Factorización

Una vez realizada la factorización hemos calculado el máximo común divisor  (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.). 

El m.c.d. se calcula cogiendo los números comunes en la factorización y elevados al menor exponente.

El m.c.m. se calcula cogiendo los números comunes y no comunes en la factorización y elevados a mayor exponente.

Los números no primos se llaman compuestos. El 40 es un número compuesto porque tiene divisores que no son 1 ni 40, como el 5.

Cualquier número compuesto se puede expresar como producto de números primos. Por ejemplo, 40 = 2 · 2 · 2 · 5 = 23 · 5. Se dice que ha sido descompuesto en factores primos, o bien que 23 · 5 es la descomposición factorial de 40.


 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ

Se dice que dos números son primos entre sí cuando su máximo común divisor es el 1. Por ejemplo, 20 y 49 o 14 y 15 son primos entre sí.

 Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático.

ALGO DE LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

     

La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y  el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

    Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación.

   

 Fueron los indios, entre los siglos V- XV,  los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación. encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal)  

(Tartaglia)

    A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes.  



    A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

(Neper)


(Bolzano)

    Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.



EL INVENTOR DEL AJEDREZ

El rey de Persia fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor. Se cuenta que el rey ofreció al matemático oriental el premio que solicitara.

El matemático contestó:


ajedrez.gif- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.


Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden.


   Se necesitaría la cantidad de:

264 granos de trigo = 183446 7442073 7091551 616 granos


¿Sabes leer ese número?:


Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis granos de trigo.


En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado.


Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años.


LA PARADOJA DEL CUADRADO

Dibuja en un papel o cartulina un cuadrado de lado 8 cm.

Recorta los dos triángulos y los dos trapecios como se indica en la figura.

cuad1.gif

Coloca los trozos A, B, C y D en la forma en que se indica.

Resulta un rectángulo de lados: largo = 13 cm., ancho = 5 cm.

cuad2.gif

Como el rectángulo se compone de los mismos trozos que el cuadrado, deben tener la misma área. Sin embargo:

Área del cuadrado: 8 cm. x 8 cm. = 64 cm. cuadrados

Área del rectángulo = 13 cm. x 5 cm. = 65 cm cuadrados

¿Cómo esta diferencia de 1 cm. cuadrado?


cuad3.gif


En realidad, entre el rectángulo de lados 13 cm y 5 cm y el construido con las piezas A, B, C y D queda un pequeño espacio, imposible de detectar a simple vista, de 1 mm de ancho y que en total tiene 1 cm cuadrado, que es la diferencia entre 64 y 65 centímetros cuadrados.

Las sorpresas de este tipo se llaman paradojas de Hooper, porque este autor las presentó en su obra Rational Recreations en 1795.

Sam Lloyd mostró ingeniosamente que las piezas pueden disponerse de forma que aparentemente sea 8 x 8 = 63:


cuad4.gif


La paradoja del cuadrado se debe a Lewis Carroll, matemático y escritor británico cuyo verdadero nombre es Charles Lutmidge Dogson. En su obra "Alicia en el país de las maravillas", manifiesta su interés por lo absurdo, los acertijos y la confusión.


alicia.gif

martes, 4 de marzo de 2014

¿Saben matemáticas las abejas?




Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.


La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados.Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?....





Origen de las Matematicas


El número cero

Los primeros en utilizar un símbolo que representara el cero fueron los babilonios. Las tabletas de arcilla que se encontraron, que se remontan al año 200 A.C., dan cuenta del empleo de este símbolo. En Europa, el cero fue introducido recién en los siglos IX o X de nuestra era.

En la escritura de números, los babilonios introdujeron el sistema posicional, en el que se basa el sistema decimal. El valor de cualquier dígito depende de su posición en el número. Ya en el año 2500 A.C. los babilonios poseían vastos conocimientos matemáticos. Fue recién en el siglo IX de la Era Cristiana que este sistema se introdujo en Europa.

Nuestro conocimiento de las matemáticas griegas se remonta hacia el año 600 A. C. aproximadamente. Cuando Tales, uno de los siete sabios de Grecia, introdujo el estudio de la geometría.

Los egipcios establecieron un sistema de medidas basado en el cuerpo humano. La unidad principal era el codo, la distancia que lo separaba de las puntas de los dedos -equivalente a 46 cm. aproximadamente-.

Los fines de las matematicas

     La matemática tiene un fin triple. Primero, proporcionar un instrumento para el estudio de la naturaleza. Pero esto no es todo. Tiene también un fin filosófico y un fin estético . Los buenos conocedores de la matemática encuentran en ella placeres comparables a los que proporcionan la pintura y la música. Admiran la delicada armonía de los números y de las formas. Se maravillan cuando un nuevo descubrimiento abre una nueva perspectiva. ¿Y no es estético este placer, aunque los sentidos no participen en él? (Poincaré)


El fin del mundo


    Entre las numerosas leyendas que la antigüedad nos ha legado sobre el fin del mundo la brahmánica (relacionada con la "torres de Hanoi" resulta especialmente curiosa:

     En el gran templo de Benarés, bajo la cúpula que señala el centro del Mundo reposa una bandeja de cobre en la que están plantadas tres agujas de diámetro más fino que el aguijón de una abeja. En el momento de la Creación, Dios colocó en una de las agujas 64 discos de oro puro ordenados por tamaño: desde el mayor que rebosa sobre la bandeja hasta el más pequeño, en lo más alto del montón. Es la torre de Brahma. Incansablemente, día tras día, los sacerdotes del templo mueven los discos haciéndoles pasar de una aguja a otra, de acuerdo con las leyes fijas e inmutables de Brahma que dictan que el sacerdote en ejercicio no mueva más de un disco al día, ni lo sitúe encima de un disco de menor tamaño. El día en que los 64 discos hayan sido trasladados desde la aguja en que Dios los puso al crear el mundo a una cualquiera de las otras dos agujas, ese día la Torre, el Templo y, con gran estruendo, el Mundo desaparecerán.

Interesante......

10 ANÉCDOTAS DE FAMOSOS MATEMÁTICOS

Un perro listísimo
El matemático inglés John Wallis era amigo de Isaac Newton. De acuerdo con su diario, Newton le fanfarroneó en cierta ocasión acerca de su perrito Diamond:

- Mi perro Diamond sabe algo de matemáticas. Hoy probó dos teoremas antes de almorzar.
- Tu perro debe ser un genio- respondió Wallis.
- ¡Oh, me he pasado un poco! El primer teorema tenía un error y el segundo tenía una excepción patológica.

Sin intervención divina

Cuando Pierre Simón Laplace presentó a Napoleón su voluminosa obra ‘Tratado de mecánica celeste’, se desarrolló entre ambos el siguiente intercambio de opiniones:
-Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito este gran libro sobre el sistema del universo sin haber mencionado ni una sola vez a su Creador.
- Sire, nunca he necesitado esa hipótesis.

Poincaré, el ambidextro

Los amigos de Jules Henri Poincaré  destacaban de este matemático francés su particular torpeza para dibujar el esquema más sencillo.
De ahí que le llamaran el ambidextro, ya que “podía dibujar igual de mal con la mano derecha que con la izquierda.”

El despiste de David Hilbert

El matemático alemán David Hilbert recibió en su casa a un profesor recién llegado a la Universidad de Gotinga. Después de presentarse, el invitado se quitó el sombrero y se sentó. Al cabo de unos minutos de conversación, Hilbert, que probablemente tenía la cabeza en otros menesteres, decidió que la visita ya había durado lo suficiente y poniéndose el sombrero de su invitado, se despidió cortésmente y se fue de su propia casa.

Descartes, la mosca y las Coordenadas Cartesiana

Debido a la precaria salud que padecía desde niño, René Descartes tenía que pasar innumerables horas en cama. Aprovechaba para pensar en filosofía, matemáticas, divagar e incluso se permitía perder el tiempo pensando en las musarañas.
Teniendo su vista perdida en el techo de la estancia fue una mosca a cruzarse en su mirada, cosa que hizo que la siguiera con la vista durante un buen rato, mientras pensaba y se preguntaba si se podría determinar a cada instante la posición que tendría el insecto, por lo que pensó que si se conociese la distancia a dos superficies perpendiculares, en este caso la pared y el techo, se podría saber.
Mientras le daba vueltas a esto se levanto de la cama y agarrando un trozo de papel dibujó sobre él dos rectas perpendiculares: cualquier punto de la hoja quedaba determinado por su distancia a los dos ejes. A estas distancias las llamó coordenadas del punto: acababan de nacer las Coordenadas Cartesianas, y con ellas, la Geometría Analítica.

Uno más en la familia

El matemático P. G. Lejeune Dirichlet no era muy amigo de escribir cartas. Hizo una excepción cuando nació su rimer hijo.
Dirichlet mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje:    1+1=3

El precario sueldo de los docentes

En uno de los seminarios que impartía el matemático español Julio Rey Pastor,  fue preguntado por el problema del infinito.
Pastor respondió lo siguiente:
-Para mí, el infinito comienza a partir de mil pesetas- haciendo alusión a los sueldos tan ajustados que soportaban los profesores.

Hilbert y el teorema de Fermat

En los primeros tiempos de la aviación invitaron al matemático alemán David Hilbert  a dar una conferencia sobre el tema que él quisiera. La conferencia creó una gran expectación ya que el tema elegido fue:
“La prueba del último teorema de Fermat”
Llegó el día y Hilbert dio la conferencia. La exposición fue muy brillante pero no tuvo nada que ver con el último teorema de Fermat.
Cuando le preguntaron el porqué del título contesto:

«Oh, el título era solamente para el caso de que el avión se estrellara»

Bueno para los números, malo para los nombres

Paul Erdós había adquirido la extraña costumbre de llamar por teléfono a sus colegas matemáticos que vivían en cualquier punto del mundo sin mirar la hora que era. Tanto le importaba si era de día o de noche.
Se sabía de memoria cada uno de los números de teléfono a los que llamaba, pero no era capaz de acordarse de los nombres de sus interlocutores.
Solo había una persona con la que utilizaba un nombre cuando hablaba con él: Tom Trotter, al que llamaba Bill.

En busca del saber

Euclides  se encontraba impartiendo una clase en  Alejandría cuando, uno de sus alumnos, le preguntó que para qué servían todas aquellas demostraciones tan extensas y complejas que explicaba el matemático.
Pausadamente, Euclides, se dirigió a otro de los estudiantes presentes y le dijo:
-Dele una moneda y que se marche. Lo que éste busca no es el saber, es otra cosa.

jueves, 24 de octubre de 2013

Acertijos Matematicos

Engañosos


Los veintisiete acertijos de esta sección son cortos y fáciles, pero cada uno de ellos implica alguna clase de truco que da a la respuesta un giro inesperado. De alguna manera, podríamos llamarlos problemas humorísticos o graciosos, pero he preferido terminar el libro con ellos por una razón muy especial. 


La razón es ésta: un matemático o científico creativo debe tener una mente constantemente en guardia, que no se deje sorprender por facetas inesperadas. Einstein, por ejemplo, el mayor científico de épocas recientes, jamás habría desarrollado su famosa teoría de la relatividad si no hubiera cuestionado ciertas suposiciones que ningún otro científico se había atrevido a cuestionar durante siglos. Resolvió problemas que parecían no tener solución, y los resolvió descubriendo el elemento "sorprendente", ese extraño factor oculto que todo el mundo había pasado por alto. A veces el nuevo giro es tan simple que, una vez descubierto, otros científicos se preguntan cómo no se les ocurrió a ellos. No se les ocurrió, sin duda, porque sus mentes estaban encadenadas por el hábito a las maneras de pensar familiares y ortodoxas. 

Así que desempolva tu cerebro antes de intentar responder a estas divertidas preguntas. No son de gran importancia matemática... pero te enseñarán que en matemática, como en la vida, las cosas no son siempre lo que parecen. 

1. Acertijos engañosos 
  1. ¿Puedes poner diez terrones de azúcar en tres tazas vacías de modo que en cada taza haya un número impar de terrones? 
  2. En la ferretería local, Jones se enteró que l le costaría 50 centavos, 12 le costarían $1,00 y que el precio de 144 era $1,50. ¿Qué era lo que Jones estaba comprando? 
  3. Observa con cuánta rapidez puedes anotar los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante, luego controla la respuesta para ver si has seguido bien las instrucciones. 
  4. ¿Con cuánta rapidez puedes hallar el producto de los siguientes números?
    256 x 3 x 45 x 3.961 x 77 x 488 x 2.809 x 0

  5. Laringitis, un orador griego, nació el 4 de julio del 30 A. C. Murió el 4 de julio del año 30 D. C. ¿Qué edad tenía cuando murió? 
  6. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno? 
  7. Después de una serie de experimentos, un químico descubrió que una determinada reacción química demoraba 80 minutos en producirse siempre que él usaba una corbata verde, y que la misma reacción demoraba una hora y veinte cuando él usaba una corbata roja. ¿Se te ocurre alguna razón para ello? 
  8. Un matemático se fue a acostar a las ocho de la noche, puso el despertador para las 9 de la mañana y se fue a dormir de inmediato. ¿Cuántas horas había dormido cuando el despertador lo despertó? 
  9. Divide 30 por 1/2 y suma 10. ¿Cuál es el resultado? 
  10. Un chico tenía cinco manzanas y se comió todas salvo tres. ¿Cuántas manzanas quedaron? 
  11. ¿Cuáles dos números enteros (no fracciones) dan el número de la mala suerte, 13, cuando son multiplicados entre sí? 
  12. Un lector de este libro estaba tan enojado por no poder hallar las respuestas de todos estos problemas que arrancó las páginas 6. 7. 84, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total? 
  13. Si a un reloj le lleva cinco segundos dar las 6, ¿cuánto tiempo le llevará dar las 12? 
  14. Un triángulo tiene lados de 17, 35 y 52 centímetros. ¿Cuál es su superficie en centímetros cuadrados?

  15. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los nueve puntos de la ilustración?


  16. ¿Puedes trazar dos líneas rectas, sin levantar el lápiz del papel, que pasen por las seis pelotas de béisbol que aparecen en la ilustración?


  17. Cada libro de los que se ven en la ilustración tiene cinco centímetros de grosor. Esa medida incluye las tapas, que tienen un grosor de 1/4 de centímetro. Sí una polilla que come papeles empieza por la primera página del volumen 1 y se abre camino hasta la última página del volumen 4, ¿qué distancia habrá recorrido?

  18. ¿Puedes elegir seis dígitos de los que se ven en la ilustración que sumados den 21?

  19. Demuestra de qué manera se puede cortar un panqueque en ocho partes con tres cortes rectos de cuchillo. 
  20. Un insecto se arrastra a lo largo de una regla desde la marca de los 10 centímetros de un extremo hasta la marca de los 5 centímetros que está en el centro. Ese trayecto le lleva 10 segundos. Siguiendo su camino, se desplaza desde la marca de los 5 centímetros hasta la marca de 1 centímetro, pero ese recorrido le lleva solamente ocho segundos. ¿Se te ocurre alguna buena razón que justifique esa diferencia de tiempo? 
  21. ¿En qué se basa el orden en que se han dispuesto estos diez dígitos?
    0-5-4-2-9-8-6-7-3-1 

  22. Si hay doce estampillas de un centavo en una docena, ¿cuántas estampillas de dos centavos habrá en una docena? 
  23. Coloca una moneda en cada uno de los sitios que muestra la ilustración adjunta. ¿Puedes cambiar la posición de sólo una moneda y formar dos filas rectas que contengan cuatro monedas cada una?


  24. Un lógico se encontró en una pequeña ciudad que sólo tenía dos peluqueros, cada uno de ellos con su propia peluquería. Como necesitaba un corte de pelo, miró hacia el interior de una de las peluquerías y vio de inmediato que era extremadamente sucia. El mismo peluquero necesitaba una afeitada, sus ropas estaban sucias, su pelo descuidado y mal cortado. La otra peluquería resultó ser impecable. El barbero estaba recién afeitado, impecablemente vestido y tenía el pelo prolijamente cortado. El lógico pensó un momento y luego regresó a la primera peluquería para hacerse cortar el pelo. ¿Por qué? 
  25. Cuando los dos desconocidos con los que se habían citado a ciegas llegaron para llevarlas a un partido de fútbol, Katy y Susan quedaron atónitas al ver que los dos jóvenes eran exactamente iguales. "Sí, somos hermanos", explicó uno de ellos. "Nacimos el mismo día del mismo año y tenemos los mismos padres". "Pero no somos mellizos", dijo el otro. Katy y Susan quedaron perplejas. ¿Puedes explicar la situación? 
  26. Multiplicar 10 metros por 10 metros da 100 metros cuadrados. ¿Cuánto da diez dólares por diez dólares? 
  27. Cuando el joven pagó su desayuno a la cajera, ella advirtió que él había dibujado un triángulo en el reverso de la cuenta. Debajo del triángulo había anotado:
    13 x 2 = 26.

    La cajera sonrió: "Veo que eres marinero", dijo.
    ¿Cómo supo la cajera que el joven era marinero?

2. Soluciones 


  1. Hay quince soluciones diferentes para este problema, pero todas ellas involucran el mismo truco. Por ejemplo: pon siete terrones en una taza, dos en otra y uno en la tercera. Ahora pon la última dentro de la segunda. ¡La segunda contendrá entonces tres terrones! 
  2. Jones estaba comprando números sueltos de metal. 
  3. Los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante son: 1-2-3-4-5-6-7-8-9 
  4. ¿Viste ese cero al final antes de empezar a multiplicar? Si lo ves, sabrás inmediatamente que la respuesta final tiene que ser cero. 
  5. Laringitis tenía 59 años (no hubo ningún año cero). 
  6. El perro, una pequeña Pomerania llamada Henrietta, pesa 5 kilos, y el enorme gatazo llega a los 10. Si supusiste que el perro era "él" y el gato "ella", probablemente no llegaste a ningún lado. 
  7. No hay nada que explicar porque 80 minutos es lo mismo que una hora y "veinte minutos. 
  8. El matemático sólo tuvo una hora de sueño. La alarma del reloj lo despertó a las nueve de esa misma noche. 
  9. Treinta dividido por 1/2 es 60, así que cuando se le suman 10, da 70, que es la respuesta final. 
  10. Quedaron tres manzanas. 

  11. 13 x 1 = 13

  12. Sólo arrancó cuatro hojas de papel; porque las páginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja. 
  13. Al reloj le llevará 11 segundos dar las 12. Hay un segundo entre cada campanada. 
  14. Un "triángulo" con esos lados sería una línea recta (los matemáticos a veces lo llaman un "triángulo degenerado"), de modo que no tendría ninguna superficie. Es verdad que se mostraba un triángulo en la ilustración, pero sólo era para desconcertarte; ese triángulo sin duda no podía tener los lados que se indicaban. 
  15. La forma de hacerlo es


  16. Como las pelotas de béisbol son puntos más grandes, todas ellas pueden cruzarse trazando dos líneas que se unen en la extrema derecha, tal como se ve en la ilustración.


  17. La primera página del volumen 1 está a la derecha del libro cuando los volúmenes están colocados en el estante, y la última página del volumen 4 está a la izquierda del libro. En consecuencia, la polilla sólo tiene que pasar por la tapa del volumen 1, recorrer todo el volumen 2 y el volumen 3, y la tapa del volumen 4, lo que totaliza una distancia de 10 centímetros y 1/2.

  18. Invierte el libro y marca con círculos tres 6 y tres 1. 
  19. Dos cortes en ángulo recto dividirán el panqueque en cuatro partes. Apílalos y córtalos por la mitad con el tercer corte para hacer ocho partes. 
  20. El insecto se mueve a una velocidad constante de un centímetro cada dos segundos. ¿Se te ocurrió pensar que la distancia desde el centro de la regla hasta la marca de 1 centímetro es de sólo cuatro centímetros? 
  21. Los dígitos están dispuestos de tal manera que sus nombres quedan en orden alfabético. 
  22. Doce. 
  23. Recoge la moneda inferior y colócala encima de la moneda de la esquina. 
  24. Como en la ciudad había sólo dos peluqueros, cada uno de ellos tiene que haber cortado el pelo del otro. El lógico eligió al peluquero que le hizo el mejor corte de pelo a su rival. 
  25. Los dos jóvenes pertenecían a un conjunto de trillizos. 
  26. La pregunta no tiene sentido. Los dólares pueden sumarse entre sí, o restarse entre sí, pero no pueden multiplicarse o dividirse por algo que no sea un número puro. 
  27. ¡El joven tenía puesto un traje de marinero!