Los Números Reales y la Recta Numérica

Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica.

Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).

Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:

1) como decimales finitos

2) como decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.

Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.

En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.

Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Propiedades de los números reales

Propiedades de la adición

La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.

Propiedad Asociativa de la adición:

 Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).

También     Es la llamada propiedad asociativa de la adición.

Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Elemento neutro de la adición

Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición,
tal que a + 0 = 0 + a = a.

Elemento simétrico de la adición

Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.

Propiedad Conmutativa de la adición

Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b + a.

También   Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.

Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4

Propiedades de la multiplicación

Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso.

El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.

Propiedad Asociativa de la multiplicación

Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).

También  Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.

Un ejemplo aritmético:

Elemento neutro

Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación,

tal que a(1) = 1(a) = a.

Elemento recíproco o inverso

Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a–1) = (a–1)a = 1.

Propiedad Conmutativa de la multiplicación

Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo:  ab = ba.

 También    Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.

Un ejemplo aritmético:

Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:

Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente:

 a(b + c) = ab + ac  también  (b + c)a = ba + ca

También 

Un ejemplo aritmético:

Regla de los Signos para sumar y restar:

1.      En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 + 8 = 13

5 + –8 = –3

2.      En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 – 8 = –3

5 – (–8) = 13

Regla de los signos en la multiplicación y la división

En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son de signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplos:

            5 x 8 = 40                           5 x –8 = –40

Multiplicación de polinomios

El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

(ax + b) (cx²) = acx³ + bcx²

Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:

(ax³ + bx² – cx) (dx + e) = adx⁴ +aex³ + bdx³ + bex² – cdx² - cex

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:

= adx⁴ + (ae + bd)x³ + (be – cd) x² – cex

Recta Numérica

Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica.

El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.

·         Si a – b es positivo, entonces a > b.

·         Si b – a es positivo, entonces a < b.

Valor Absoluto

La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:

·         si el número es negativo, lo convertimos a positivo.

·         si el número es cero o positivo, se queda igual.

Ejemplos:

|7| = 7

|–7| = 7