"Coordenadas cartesianas en una dimensión"

Coordenadas cartesianas en una dimensión

Imagina que deseamos saber dónde está un objeto sabiendo que se mueve únicamente en una dirección (como un tren a lo largo de una vía recta). En lo que a nosotros respecta, es como si el Universo tuviera una sola dimensión – los objetos sólo pueden estar en algún punto de esa recta. ¿Cómo identificar cuantitativamente dónde está el objeto?

El sistema de Descartes es bien simple. En primer lugar tomamos un punto de referencia arbitrario, el origen, que divide esa recta o eje en dos semiejes infinitos. Tradicionalmente se representa este eje o recta en la horizontal:

En segundo lugar elegimos, también arbitrariamente, uno de los dos semiejes como positivo y otro como negativo. Tradicionalmente suele elegirse el semieje de la derecha como positivo y el de la izquierda como negativo:

Podemos ahora identificar la posición de un objeto con un número: la distancia al origen, pero acompañado de un signo, positivo si está en el semieje positivo y negativo si está en el semieje negativo. Este número con su signo es la coordenada del punto. Así, decir que algo está en el punto (-4) significa que está a cuatro metros del origen (suponiendo que se trate de una distancia en metros), y que está en el semieje negativo, es decir, si se ha representado de manera tradicional,a la izquierda del origen de coordenadas:

Naturalmente un punto no tiene por qué estar a una distancia entera del origen, y tendría igual sentido decir que algo está en (34) o en (7√). Lo importante es lo siguiente: en un sistema cartesiano de una coordenada, un punto viene identificado por un número real. Repito, aunque me ponga pesado: el número indica dos cosas. Por una parte la distancia al punto de origen, y por otra parte a qué lado del origen está. Como ves, se trata simplemente de un modo conciso y eficaz de identificar un punto en un eje.

Las cosas se ponen más interesantes, por supuesto, en dos dimensiones, de modo que vamos a ello.

Coordenadas cartesianas en dos dimensiones

Para añadir una segunda dimensión debemos añadir un segundo eje. Aunque podríamos hacerlo de muchas maneras diferentes, el sistema cartesiano exige que ese segundo eje sea perpendicular al primero. Como hemos representado el primer eje horizontalmente, nuestro segundo eje podrá ser vertical, para mantener todo sobre el plano de la pantalla:

El origen del segundo eje es el mismo que el del primero, de modo que podemos hablar del origen del sistema de coordenadas, ya que sólo hay uno: el punto de corte de ambos ejes. Además, debemos hacer lo mismo de antes – elegir un semieje positivo y otro negativo. Aunque esto es arbitrario, lo más usual es hacer que el semieje positivo sea el que va hacia arriba si hemos representado los ejes horizontal y verticalmente como aquí:

A partir de ahora, a veces me saltaré los signos y la O del origen, porque no suele hacer falta representarlos. Recuerda: el origen está en el punto de corte de ambos ejes, y los sentidos positivos son hacia la derecha y hacia arriba. Para distinguir ambos ejes, en vez de hablar del vertical y el horizontal, suelen denominarse eje de abscisas y eje de ordenadas o eje x y eje y.

Ahora podríamos hacer exactamente lo mismo de antes, y decir que si un objeto está en alguna parte del eje de ordenadas podemos representar su posición mediante un número. Así, la posición (5) en el eje de ordenadas se encuentra cinco unidades (metros, por ejemplo) por encima del origen:

Pero esto tiene muy poca gracia. Lo interesante es que ahora podemos identificar cualquier punto sobre cualquiera de los dos ejes, pero también cualquier punto en cualquier parte del plano de dos dimensiones definido por los dos ejes, es decir, la pantalla. Por ejemplo, observa este punto:

No está en ninguno de los dos ejes, pero pensemos en cada uno de los dos por separado. En lo que respecta al eje horizontal –de abscisas–, ¿está a la derecha del origen o a la izquierda? A la izquierda, luego su “número identificador”, es decir, su coordenada, será negativa. Pero ¿está muy a la izquierda o no demasiado lejos? La distancia medida en horizontal, que nos indica cuán a la izquierda está, es 3, luego su coordenada horizontal es (-3).

Fíjate en que no estamos siquiera considerando lo que pasa en la vertical: nos importa únicamente lo que sucede en lo que respecta al eje de abscisas. Esta “separación” entre los ejes es una de las características del sistema cartesiano. Estamos haciendo algo así como proyectar el punto sobre el eje horizontal para tratarlo como si no existiera el eje de ordenadas:

Olvidémonos ahora del eje de abscisas y pensemos en el de ordenadas, es decir, en la vertical: ¿se encuentra nuestro punto por encima o por debajo del origen? Por encima, por supuesto, luego el signo de la coordenada vertical será positivo. Ahora bien, ¿cuánto por encima se encuentra el punto? Si medimos la distancia en vertical hasta el nivel del origen vemos que son cuatro unidades –cuatro metros, por ejemplo–. Es decir, la coordenada en vertical es (4). Una vez más, lo que acabamos de hacer es tratar el punto como si fuera la proyección del punto real sobre el eje y:

De manera que la abscisa de P es -3, y su ordenada es 4. Otra manera de decirlo, utilizando las tradicionales x e y para abscisas y ordenadas, es así: las coordenadas cartesianas de P son x=−3e y=4. Aquí tienes las dos representadas a la vez:

Hay varias maneras “compactas” de expresar P, pero aquí haremos lo tradicional, es decir, escribir sus dos coordenadas en orden, primero la abscisa y luego la ordenada, entre paréntesis: P=(−3,4). Es un modo conciso y muy claro, siempre que recuerdes que el primer número es la coordenada x y el segundo la y.

Por poner otro ejemplo, el punto (6,−4) está seis unidades a la derecha del origen, y cuatro unidades por debajo. Una de las razones por las que esta convención de coordenadas cartesianas es muy útil es el hecho de que, una vez expresado todo de esta manera, no hace falta dibujar nada. Se trata de una abstracción, y aunque a veces ayuda mucho dibujar las cosas, no es necesario. Descartes fabricó una herramienta matemática que abstrae el espacio físico y lo convierte en una serie de objetos manipulables mediante la aritmética y, por supuesto, el álgebra.

Permite que te muestre cómo esta abstracción es útil, y luego entramos de lleno en el álgebra mezclada con geometría.