suma y resta de polinomios

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

• 2. 1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. ◄Suma De Polinomios: Para sumar dos o más polinomios se escriben uno a continuación de los otros con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. Ejemplo: Sumar –3a +5b y –9b +2a Se escriben los dos polinomios uno a continuación del otro conservando los signos: –3a +5b –9b +2a Se reducen por separado los términos semejantes entre sí. Trabajando con ―”a”: –3a +2a = –a Trabajando con ―”b”: +5b –9b = –4b –3a +5b –9b +2a = –a –4b En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columnas y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. Ejemplos: 1) Sumar 4a – 3b – 5c y 7b – 9a – 3c Se coloca uno debajo del otro de manera que los términos semejantes queden en columnas (“a”‖ debajo de “a”‖, “b”‖ debajo de “b”‖ y “c”‖ debajo de “c”‖). Todos los términos conservan sus signos. El segundo polinomio se reordena de manera tal que las letras queden en el mismo orden que en el primer polinomio: Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical.
• 3. Resultado: – 5a + 4b – 8c
• 4. ◄RESTA DE POLINOMIOS Para restar dos polinomios se debe escribir el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay. Ejemplo: De –3a +5b restar 9b –2a Se escribe el minuendo (al que se le va a restar) con sus propios signos y a continuación el sustraendo (lo que se va a restar) con los signos cambiados: –3a +5b –9b +2a Se reducen por separado los términos semejantes entre sí. Trabajando con “a”: –3a +2a = –a Trabajando con “b”: +5b –9b = –4b = –a –4b (–3a +5b) – (9b –2a) = –3a +5b –9b +2a = –a –4b En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columnas y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.
• 5. 1.2 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS. Procedimiento: 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efectúa la suma indicada Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d. Ejemplo:
• 6. 1.3 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON EXPONENTES ◄Suma de Polinomios con Exponentes: Sumar 5X3 + 3X – 2 y 2 X2 – 9X + 4 Se coloca uno debajo del otro de manera que los términos semejantes queden en columnas. Todos los términos conservan sus signos. Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un término se dejará el espacio vacío Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la columna donde haya un solo término se coloca tal como esté. Resultado: 5X3 + 2X2 – 6X + 2
• 7. ◄Resta de Polinomios con Exponentes: 5X3 + 3X – 2 menos –2X2 + 9X –4 Se le cambian los signos al sustraendo (lo que se va a restar) 2X2 – 9X + 4 Se coloca debajo del minuendo (al que se le va a restar) de manera que los términos semejantes queden en columnas. Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un término se dejará el espacio vacío. Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la columna donde haya un solo término se coloca tal como esté. Resultado: 5X3 + 2X2 – 6X + 2 Es bueno aclarar que en la resta de polinomios se aplican los mismos criterios que en la suma de polinomios una vez que se le cambien los signos al sustraendo (lo que se va a restar). Lo importante entonces es identificar el sustraendo (lo que se va a restar) y cambiarle todos los signos, no importa la forma como se plantee el ejercicio.
• 8. 1.4 MULTIPLICACION DE MONOMIOS Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos. Ejemplo 1: Multiplicar 3a por – 4b Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos: (3). (–4) = –12 A continuación se escriben las letras en orden alfabético: –12ab (3a). (–4b) = –12ab Ejemplo 2: Multiplicar 2b2 por 3b3 Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos: (2).(3) = 6 A continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores: 6(b2+3) = 6b5 (2b2 ) ( 3b3 ) = (2)(3)(b2+3) = 6b5 Ejemplo 3: Multiplicar 2b por –3b ( 2b ) ( –3b ) = (2)(–3)(b1+1) = – 6b2ç
• 9. 1.5 MULTIPLICACION DE POLINOMIOS Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. Ejemplo 1: Multiplicar X + 3 por X – 2 La multiplicación se indica como: (X + 3).( X – 2) = Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos. Una vez efectuada la operación se reducen los términos semejantes del polinomio resultante (producto): (X + 3).( X –2) = X2 –2X + 3X – 6 = X2 + X – 6
• 10. La operación también puede disponerse en forma similar a lo aprendido en la multiplicación de un polinomio por un monomio (pág. 12). Los dos factores deben ordenarse con relación a una misma letra y colocarse uno debajo del otro: Primero se multiplica el primer término del multiplicador (X) por los dos términos del multiplicando (X+3): Posteriormente se multiplica el segundo término del multiplicador (–2) por los dos términos del multiplicando (X+3), escribiendo los productos parciales de modo que los términos semejantes queden en columna: Por último se reducen los términos semejantes: El resultado es el mismo que con el método anterior.
• 11. 1.6 PRODUCTO CONTINUADO Cuando se presente la multiplicación de tres o más Polinomios, la operación se desarrolla efectuando el producto de dos factores (polinomios) cualquieras; este producto se multiplica por el tercer factor (polinomio) y así sucesivamente hasta incluirlos a todos en la operación:
• 12. 1.7 DIVISION DE MONOMIOS Se divide el coeficiente del dividendo (numerador) entre el coeficiente del divisor (denominador) y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el divisor (denominador). El signo lo da la Ley de los signos. Ejemplos: 1) (10Xm) ÷ (5Xn) = A continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el divisor (denominador). 2Xm-n
• 13. 1.8 DIVISION DE POLINOMIOS Para facilitar la comprensión de los procedimientos recomendados en este trabajo, colocaremos a continuación una división de dos polinomios donde se identificará cada una de las partes que la conforman: En las divisiones exactas: En las divisiones donde el residuo es distinto de cero:
• 14. Primero se debe ordenar y completar el dividendo (– 11X2 + X4 – 18X – 8 ) con relación a una misma letra. En aquellos casos donde falte un término se colocará cero para garantizar que el polinomio esté completo. Se colocan los dos polinomios de manera similar a como lo hacemos para realizar la división en aritmética: Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante.
• 15. Al efectuar la operación (restarlo): Este tercer término del cociente (–10X). Se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambian los signos. Al efectuar la operación (restarlo):
• 16. Este cuarto término del cociente (– 8). Se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambian los signos. Al efectuar la operación (restarlo):
• 17. 1.9 COCIENTE MIXTO En los casos de división estudiados anteriormente el dividendo era divisible exactamente por el divisor (el residuo final era igual a cero). Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos, así llamados porque constan de entero y quebrado. En las divisiones donde el residuo es distinto de cero: EJEMPLO: Dividir X2 – X – 6 entre X + 3
• 18. 1.10 EJERCICIOS DE APLICACION
• 19. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD: ESTRUCTURA: PARA PENSAR, PARA RESPONDER, PARA CONOCER. Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son: O Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn , en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar. monomio binomio Trinomio Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos. Polinomios Definición: Un polinomio en x es una suma de la forma: an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0 Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real. Si an es un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n. El coeficiente a de la mayor potencia de x es el coeficiente principal del polinomio.
• 20. Ejemplo Coeficiente principal Grado 3 4 1 8 -5 2 8 8 0 7 1 Ejemplos de expresiones que no son polinomios: a) b) c) OBJETIVOS: Al final de esta lección, debes ser capaz de: Reconocer expresiones algebraicas. Reconocer si una expresión algebraica es un polinomio. Conseguir el grado y la coeficiente principal de un polinomio. Sumar dos polinomios. Restar dos polinomios.
• 21. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO Este juego está diseñado para que jueguen desde uno hasta cuatro jugadores, y cada grupo debe tener un tablero y dieciséis tarjetas con polinomios como las que vienen a continuación: TABLERO TARJETAS
• 22. Reglas Del Juego: 1) Se barajan las 16 tarjetas y se colocan boca abajo sobre la mesa y cada jugador, por turno, elige una tarjeta hasta totalizar cuatro de ellas. 2) Los jugadores factorizan sus polinomios, y buscan, en la sopa de factores que aparece en el tablero, los factores consecutivos de cada factorización y los marcan. 3) Gana el jugador que consigue marcar primero las descomposiciones de sus cuatro polinomios, en un tiempo fijado de antemano. Si nadie lo ha conseguido será ganador el que más polinomios haya descompuesto. Explicación del juego: Esta actividad se basa en el conocido pasatiempo de "Sopa de Letras", un juego clásico que puede readaptarse y ser utilizado en clase de Matemáticas. Según la clasificación utilizada por el profesor Fernando Corbalán pertenecería a los Juegos de Procedimiento Conocido con Modificaciones, pues sus reglas generales son conocidas por los alumnos fuera del ámbito escolar. En nuestra adaptación proponemos que los alumnos trabajen la factorización de polinomios por lo que las palabras se sustituyen por polinomios y las letras de la sopa por factores.
• 23. PREGUNTAS DE CONOCIMIENTOS PREVIOS.
• 1.- ¿Qué es un polinomio? ____________________________________________________
• 2.- ¿Cómo se clasifica los polinomios? ____________________________________________________ 
• 3.- ¿Cómo se realiza la división de monomios? ____________________________________________________ 
• 4.- ¿Qué se debe tomar en cuenta para la división de polinomios? ____________________________________________________ 
• 5.- ¿Cómo se realiza la multiplicación de polinomios? ____________________________________________________ 
• 6.- ¿Cuál es la estructura de un término? ____________________________________________________ 
• 7.- ¿Cuáles son los elementos de un polinomio? _____________________________________________________ 
• 8.- ¿Describa cada proceso para sumar y restar polinomios? _____________________________________________________ 
• 9.- ¿Cuáles son las dos formas de sumar y restar polinomios? ________________________________________________________