GOMBOC

Un  Gomboc  o  Gomboc  es un cuerpo homogéneo de tres dimensiones convexa que, al descansar sobre una superficie plana, tiene sólo una estable y un punto de equilibrio inestable. Su existencia fue conjeturado por el matemático ruso Vladimir Arnold en 1995 y demostrado en 2006 por científicos húngaros Gábor Domokos y Péter Varkonyi. La forma Gomboc no es único, sino que tiene un sinnúmero de variedades, la mayoría de los cuales están muy cerca de una esfera y todos tienen muy estricta tolerancia de forma (aproximadamente 0,1 mm por 10 cm). La solución más famoso tiene una parte superior afilada y se muestra a la derecha.Su forma ayudó a explicar la estructura de la carrocería de algunas tortugas en relación a su capacidad para volver a la posición de equilibrio después de haber sido colocado al revés. Copias de Gomboc han sido donados a instituciones y museos, y el mayor de ellos fue presentado en la Expo Mundial 2010 en Shanghai, China.

Historia

En geometría, un cuerpo con una sola posición de reposo estable se llama  monoestático , y el término  mono-monoestático  se ha acuñado para describir un cuerpo que, además, tiene un solo punto de equilibrio inestable. (El poliedro monoestático anteriormente conocido no calificar, ya que tiene tres equilibrios inestables.) Una esfera ponderados para que itscenter de masa se ​​desplaza desde el centro geométrico es un cuerpo-mono monoestático. Un ejemplo más común es el Comeback Kid, juguete Weeble o brazo de gitano (ver figura de la izquierda). No sólo tienen un bajo centro de gravedad, sino que también tiene una forma específica. En el equilibrio, el centro de masa y el punto de contacto están en la línea perpendicular al suelo. Cuando se empuja el juguete, su centro de subidas masivas y también se aleja de esa línea. Esto produce un momento de enderezamiento que devuelve el juguete a la posición de equilibrio.

Los ejemplos anteriores de los objetos mono-monoestático son necesariamente no homogénea, es decir, la densidad de su material varía a través de su cuerpo. La cuestión de si es posible construir un cuerpo tridimensional que es mono-monoestático sino también homogénea y convexa fue planteada por el matemático ruso Vladimir Arnoldin 1995. El requisito de ser convexa es esencial, ya que es trivial para la construcción de un cuerpo no convexo-mono monoestático.Convexo significa que cualquier línea recta entre dos puntos de un cuerpo se encuentra en el interior del cuerpo, o, en otras palabras, que la superficie no tiene regiones hundidas pero en lugar sale hacia el exterior (o es al menos plana) en cada punto. Ya era bien conocido, a partir de una generalización geométrica y topológica de la clásica teorema de los cuatro vértices, que una curva plana tiene al menos cuatro extremos de curvatura, específicamente, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales (ver figura de la derecha) , lo que significa que un (convexa) objeto mono-monoestático no existe en dos dimensiones. Mientras que una expectativa común era que un cuerpo tridimensional también debe tener por lo menos cuatro extremos, Arnold conjetura que este número podría ser menor.

Solución matemática

El problema fue resuelto en 2006 por Gábor Domokos y Péter Várkonyi. Domokos es ingeniero y es el jefe de Mecánica, Materiales y Estructuras en la Universidad de Budapest de Tecnología y Economía. Desde 2004, es el miembro más joven de la Academia Húngara de Ciencias. Várkonyi se formó como arquitecto, era un estudiante de Domokos y medallista de plata en la Olimpiada Internacional de Física en 1997. Después de permanecer como estudiante de post-doctorado en la Universidad de Princeton, en 2006-2007, asumió una posición de profesor asistente en la Universidad de Budapest de Tecnología y Economía. Domokos previamente había estado trabajando en los organismos mono-monoestático. En 1995 conoció a Arnold en una importante conferencia de matemáticas en Hamburgo, donde Arnold presentó una charla plenaria que demuestra que la mayoría de los problemas geométricos tienen cuatro soluciones o puntos extremales. En una conversación personal, sin embargo, Arnold cuestionó que cuatro es un requisito para los organismos mono-monoestático y alentó Domokos a buscar ejemplos con un menor número de equilibrios.

La prueba rigurosa de la solución se puede encontrar en las referencias de su trabajo. El resumen de los resultados es que el cuerpo tridimensional homogénea convexa (mono-monoestático), que tiene una estable y un punto de equilibrio inestable, existe y no es único. Estos organismos son difíciles de visualizar, describir o identificar. Su forma es muy diferente a cualquier representante típico de cualquier otra clase geométrica equilibrio. Deben tener "planitud" mínima y, para evitar tener dos equilibrios inestables, también debe tener "delgadez" mínima. Ellos son los únicos objetos no degenerados que tienen planitud simultáneamente mínimo y la delgadez. La forma de los cuerpos es muy sensible a pequeñas variaciones, fuera de la cual ya no es mono-monoestático. Por ejemplo, la primera solución de Domokos y Várkonyi se parecía mucho a una esfera, con una desviación forma de sólo 10 -5 . Fue despedido, ya que era muy difícil de probar experimentalmente. Su solución fue publicado menos sensible; sin embargo, tiene una tolerancia de forma de 10 -4 , es decir 0,1 mm para un tamaño de 10 cm.

Domokos y su esposa desarrollaron un sistema de clasificación de las formas en función de sus puntos de equilibrio mediante el análisis de guijarros y tomando nota de sus puntos de equilibrio. En un experimento, se trataron 2.000 guijarros recogidos en las playas de la isla griega de Rodas y no encontraron un solo cuerpo-mono monoestático entre ellos, lo que demuestra la dificultad de encontrar o construir ese órgano.

La solución de Domokos y Várkonyi tiene bordes curvos y se asemeja a una esfera con una tapa aplastada. En la figura superior, se basa en su equilibrio estable. Su posición de equilibrio inestable se obtiene mediante la rotación de la figura 180 ° alrededor de un eje horizontal. Teóricamente, éste descanse allí, pero la perturbación más pequeña lo traerá de vuelta al punto estable. El Gomboc matemático tiene en efecto esfera-como propiedades. En particular, su planitud y la delgadez son mínimos, y este es el único tipo de objeto no degenerado con esta propiedad. Domokos y Várkonyi están interesados ​​en encontrar una solución poliédrica con la superficie que consta de un número mínimo de planos lisos. Por lo tanto, ofrecen un premio a cualquier persona que encuentre a esa solución, lo que equivale a $ 10.000, dividido por el número de aviones en la solución. Obviamente, se puede aproximar sus Gomboc curvilínea con un número finito de superficies discretas, sin embargo, su estimación es que tomará miles de aviones para lograrlo. Tienen la esperanza, al ofrecer este premio, para estimular la búsqueda de una solución radicalmente distinta a la suya.

Nombre

Si se analiza cuantitativamente en términos de planeidad y de espesor, el cuerpo mono-monoestático descubierto es la más cuerpo de esfera, aparte de la esfera misma. Debido a esto, fue nombrado Gomboc, es decir, un diminutivo de  gömb ("esfera" en húngaro). Originalmente Gomboc es una forma de salchicha de alimentos: carne de cerdo sazonada rellenado cerdo estómago, similar a haggis. Hay un cuento popular húngaro sobre un Gomboc antropomórfico, que se traga a varias personas en conjunto.