PROBLEMA POLIGNAC

En teoría de números,  la conjetura de Polignac  fue hecha por Alphonse de Polignac en 1849 y afirma:

Para cualquier número positivo incluso  n , hay infinitamente muchas lagunas principales de tamaño  n . En otras palabras: hay un número infinito de casos de dos números primos consecutivos con diferencia  n .

La conjetura aún no ha sido probada ni refutada por un determinado valor de  n . En el año 2013 un avance importante fue hecho por Zhang Yitang que probaron que hay infinitamente muchas lagunas principales de tamaño  n  para algún valor de  n  <70 millones.

Para  n  = 2, es la conjetura de primos gemelos. Para  n  = 4, se dice que hay infinitos números primos primos ( p ,  p  + 4). Para  n  = 6, se dice que hay infinitos números primos sexy ( p ,  p  + 6) sin privilegiada entre  p  y  p  + 6.

La conjetura de Dickson generaliza la conjetura de Polignac para cubrir todas las constelaciones principales, la conjetura Bateman-Horn da densidades asintóticas conjeturadas.

DENSIDAD CONJETURADO.

Que   incluso para  n  es el número de lagunas principales de tamaño  n  abajo  x .

La primera conjetura de Hardy-Littlewood dice la densidad asintótica es de forma

donde  C n  es una función de  n , y   significa que el cociente de dos expresiones tiende a 1 como  x  tiende a infinito. [ cita requerida ]

C 2  es la constante de primos gemelos

donde el producto se extiende sobre todos los números primos  p  ≥ 3.

C N  es  C 2  multiplicado por un número que depende de los factores primos impares  Q  de  n :

Por ejemplo,  C 4  =  C 2  y  C 6  = 2 C 2 . Primos gemelos tienen la misma densidad conjeturada como primos primos, y la mitad del de los números primos sexy.

Tenga en cuenta que cada factor primo impar  q  de  N  aumenta la densidad conjeturado en comparación con primos gemelos por un factor de  . Un argumento heurístico sigue.

Se basa en algunos supuestos no probados por lo que la conclusión sigue siendo una conjetura. La probabilidad de que un primo impar aleatoria  q  dividir ya sea  un  o  una  + 2 en un "potencial" par gemelo prima al azar es  , ya  q  divide a 1 de los  q  números de  una  a  una  +  q  - 1. 

Ahora supongamos  q  divide  n y considerar un par primer potencial ( un , una  +  N ).  q  divide  un  +  n  si y sólo si  q  divide  una , y la probabilidad de que es  . La probabilidad de que ( una ,  un  +  n ) estar libre de el factor  q , dividido por la probabilidad de que ( una ,  un +  2 ) está libre de  Q , a continuación, se convierte   dividido por  . 

Esto es igual   que transfiere a la densidad primer conjeturado. En el caso de  n  = 6, el argumento se simplifica a: Si una  es un número aleatorio a continuación 3 tiene la oportunidad de 2/3 de dividir  una  o  un  2 +, pero única oportunidad tercio de dividir una  y  un  + 6, por lo que el Este último par se conjetura doble de probabilidades de ser ambos primos.