EL JUEGO DE DADOS DE MOZART

EL JUEGO DE DADOS DE MOZART

Un aspecto interesante de la relación entre música y matemáticas es la composición de obras musicales a partir de reglas y conceptos tales como la probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadísticos, entre otros. Éste es el caso, puesto que se generan composiciones musicales a partir de juegos de azar, lanzamiento de dados.

Mozart compuso la obra “Musikalisches Würfelspiel”(Dados musicales), creación artística en la que su ingenio la llevó a componer, no una pieza para piano, sino un generador de valses. La obra no contiene una partitura para un pequeño vals de 16 compases, sino que tiene un sistema que, por azar, puede generar un número muy grande de valses diferentes de 16 compases cada uno.

La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se dedicarán a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un trío también de 16 compases. Los compases están numerados del 1 al 176 y los agrupó en 16 conjuntos de 11 compases cada uno. El procedimiento para generar un vals particular a partir de esta combinación de habilidad en la composición y el uso del azar consiste en que cada compás del 1 al 16 se selecciona con unos dados, del correspondiente conjunto de 11 compases. Estos 16 conjuntos o columnas de números, que identifican cada uno de los 176 compases son los siguientes:

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
2	96	22	141	41	105	122	11	30
3	32	6	128	63	146	46	134	81
4	69	95	158	13	153	55	110	24
5	40	17	113	85	161	2	159	100
6	148	74	163	45	80	97	36	107
7	104	157	27	167	154	68	118	91
8	152	60	171	53	99	133	21	127
9	119	84	114	50	140	86	169	94
10	98	142	42	156	75	129	62	123
11	3	87	165	61	135	47	147	33
12	54	130	10	103	28	37	106	5

	IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XVI	XVII
2	70	121	26	9	112	49	109	14
3	117	39	126	56	174	18	116	83
4	66	139	15	132	73	58	145	79
5	90	176	7	34	67	160	52	170
6	25	143	64	125	76	136	1	93
7	138	71	150	29	101	162	23	151
8	16	155	57	175	43	168	89	172
9	120	88	48	166	51	115	72	111
10	65	77	19	82	137	38	149	8
11	102	4	31	164	144	59	173	78
12	35	20	108	92	12	124	44	131

En el encabezado en números romanos aparece el número del compás. Mozart, designó los compases por columna siguiendo un sencillo patrón armónico, de acuerdo a su época. En ésta, se utiliza una escala de siete sonidos correspondientes a siete grados, los que más utiliza son: el primer grado (I), el quinto grado (V) y el cuarto grado (IV), lo cual, en una escala de Do Mayor, corresponde al Do, Sol y Fa, además de los acordes que se construyen sobre ellos, lo cual lleva a una composición con la siguiente armonía:

I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Do	Do	Do	Do	Sol	Sol	Sol	Sol
I	I	V	I-IV	V	I	IV-V	I

IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI
Sol	Sol	Do	Do	Do	Do	Do	Do
V	I	IV-I	V	I	I	IV-V	I

Identificando cada una de las filas aparece un número entre 2 y 12 que corresponde a la suma de las caras de dos dados que deben ser lanzados para definir en cada compás, cuál es el elemento que deberá incluirse en la partitura. Se lanzan los dados en 16 ocaciones. En principio el número de posibles partituras corresponde al número 11 elevado a la potencia 16. Este número es tan grande que se estima que si se interpretaran continuamente y con un orden sistemático, todas las partituras posibles se extenderían a cientos de años la interpretación.

Una vez concluida la partitura del minueto, se crearía la partitura del trío. El método es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire. La tabla correspondiente es la siguiente:

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
1	72	6	59	25	81	41	89	13
2	56	82	42	74	14	7	26	71
3	75	39	54	1	65	43	15	80
4	49	73	16	68	29	55	2	61
5	83	3	28	53	37	17	44	70
6	18	45	62	38	4	27	52	94

	IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI
1	36	5	46	79	30	95	19	66
2	76	20	64	84	8	35	47	88
3	9	34	93	48	69	58	90	21
4	22	67	49	77	57	87	33	10
5	63	85	32	96	12	23	50	91
6	11	92	24	86	51	60	78	31

El lanzamiento de un único dado tiene un espacio muestral de seis puntos, su función de densidad de probabilidad es discreta-uniforme, ya que para cualquier resultado tiene una probabilidad de 1/6. El lanzamiento de dos dados genera un espacio muestral bidimensional de 36 parejas de resultados con una probabilidad p=1/36.

El lanzamiento de dos dados permite construir una variable aleatoria, la cual se deriva de la suma de los resultados del lanzamiento. Las probabilidades de lanzamiento de los dos dados serían:

Resultado	Probabilidad
2	1/36
3	2/36
4	3/36
5	4/36
6	5/36
7	6/36
8	5/36
9	4/36
10	3/36
11	2/36
12	1/36

En la tabla anterior, se denota que el resultado de mayor probabilidad de aparecer es el número 7. Los resultados 2, 3, 10, 11 y 12 a pesar de ser el 55% de los resultados, tienen una probabilidad de aparición de 0.167.

Esta obra en realidad no es tan elegante como muchas de las piezas cortas que compuso Mozart, sin embargo, no deja de ser sorprendente que usando un método aleatorio, por la forma en la que está diseñado, tenga su sello debido a la manera en la que está escrito cada compás y el respeto de las reglas de armonía de su tiempo.