viernes, 25 de octubre de 2013

10 Tips para enseñar matemáticas en secundaria.


Encontré este artículo donde nos brindan 10 tips para enseñar efectivamente matemáticas en secundaria. Lo traduzco y resumo para ustedes:

1. Haz que el contenido sea irresistible
 La principal pregunta que surge en un estudiante cansado y desmotivado es: ¿Para qué estudio algo que no voy a utilizar nunca? Tu deber como docente es demostrar para qué les va a servir lo que están aprendiendo y cómo pueden ponerlo en práctica. Con un poco de investigación y planeamiento podemos descubrir cuáles son los temas de actualidad que pueden interesar a los alumnos. Por poner un ejemplo, aprovechando el tema de las olimpiadas se puede introducir el estudio de los ángulos, investigando en qué ángulo debe viajar la jabalina para llegar más lejos. O sea, sacar las matemáticas del libro y aplicarlas a un tema de interés.













2. No premies a tus estudiantes con dulces
 (O stickers, o demás tipos de premios) No hay por qué dar la idea de que las matemáticas son tan aburridas que debes motivarlos con un premio. Si sigues el tip número 1 no necesitarás motivarlos con dulces.

3. Crea y promueve el trabajo en equipo
 Los alumnos que gustan más de la materia pueden ser de mucha ayuda para explicar y ayudar personalmente a sus compañeros.



















4. Calidad antes que cantidad
 Es preferible dejar menos trabajos y tareas que tengan mayor importancia en cuanto al aprendizaje y práctica del contenido. Mucho trabajo sin sentido solo logrará cansar al alumno.

5. Enseña y modela el proceso de pensamiento y resolución
 Algunas veces podemos caer en el tentación de dar las respuestas, o valorar más al alumno que llega a ellas sin explicar cómo lo hizo. Es más importante que todos sean capaces de lograr un entendimiento del proceso, aunque la respuesta no sea exacta.

6. Menos calificación y más crítica constructiva
 Al alumno le sirve más una explicación de en qué se equivocó y cómo puede enmendar el error, que una simple calificación.



















 7. Invierte la forma de pensar
 Un excelente ejemplo de este tip se da con los problemas, en vez de darle 100 problemas para que aprendan a resolverlos, pídeles que creen 10 problemas sacados de situaciones cotidianas personales. Al tener que crear el problema a partir de la solución les será mucho más sencillo entender el proceso.

8. Cuenta cuentos
 Los cuentos son una excelente forma de atraer la atención de los alumnos, además sirven de background para cualquier operación matemática, dándole sentido.

9. Programa tutorías semanales a los alumnos menos aventajados antes de las evaluaciones. (ver tip 3)

10. Trabaja con las emociones
 Pregunta cómo se sienten sobre la clase de matemáticas, es normal que a algunos les aburra y a otros les guste. Lo importante es escuchar dónde está la mayoría, algunos días puede que estén más cansados y otros días más animados. Tu plan de clase puede adaptarse a sus emociones, si están aburridos, intentar una actividad que les pueda divertir más; si están cansados, poner menos trabajo o aprovechar para poner en práctica el tip 8, etc.





 Espero que les sirva para sus hacer sus clases de Matemáticas más divertidas.


Siempre el aspecto lúdico ayuda a que los estudiantes puedan asimilar el conocimiento y los aprendizajes de manera creativa, lo que facilita su comprensión y asimilación.

El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).

Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.

Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".

(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
   

Pautas en el triángulo

Diagonales

La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)
La tercera diagonal son los números triangulares
(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)

Pares e impares

Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski

Sumas horizontales

¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble!
Se dobla cada vez (son las potencias de 2).

Sucesión de Fibonacci

Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.

(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Pascal's Triangle Symmetry

Simetría

El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
1 H
T
1, 1
2 HH
HT TH
TT
1, 2, 1
3 HHH
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT
1, 3, 3, 1
4 HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT
1, 4, 6, 4, 1
  ... etc ...  

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.
Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:
Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal
2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1
  ... etc ...  

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal
                                           1
                                        1     1
                                     1     2     1
                                  1     3     3     1
                               1     4     6     4     1
                            1     5     10    10    5     1
                         1     6     15    20    15    6     1
                      1     7     21    35    35    21    7     1
                   1     8     28    56    70    56    28    8     1
                1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
             1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
          1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
       1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
    1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
 1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14    1

Los chinos ya lo conocían

Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los siete cuadrados multiplicadores". Ver imagen completa
Esto es de la portada del libro de Chu Shi-Chieh "Ssu Yuan Yü Chien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en 1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era conocido más de dos siglos antes.

El quincunce

Esta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.

Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajo del triángulo donde caen en pequeños contenedores.
Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato verás que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución normal.

problemas conteo y divisibilidad.



Aquí presento unos problemas relacionados con conteo y divisibilidad. Al igual que los anteriores también tienen el procedimiento de resolución así como su respectiva solución.

Problema 1

Numeré 2010 tarjetas del 1 al 2010 y quité aquéllas que terminaban con 7. Después volví a numerar las que me quedaban y por último quité las que terminaban en 3. Al final, ¿cuántas tarjetas me quedaron?

Problema 2

Si el Dragón Rojo tuviera 6 cabezas más que el Dragón Verde, entre los dos tendrían 34 cabezas, pero el Dragón Rojo tiene 6 cabezas menos que el Verde. ¿Cuántas cabezas tiene el Dragón Rojo?

Problema 3

Angélica dice que el 25% de sus libros son novelas, mientras que 1/9 de sus libros son de poesía. Si sabemos que el total de sus libros está entre 50 y 100, ¿cuál es este total?


Problema 4

El reloj de mi papá se atrasa un minuto cada hora. El reloj de mi mamá se adelanta un minuto cada dos horas. Al salir de casa puse ambos relojes a la misma hora y les dije a mis papás que volvería cuando la diferencia entre sus relojes fuera exactamente de una hora. ¿Cuánto tiempo estaré fuera de casa?

Problema 5
 
La maestra calculó el promedio de la calificación de seis estudiantes y obtuvo 85. Después se dio cuenta de que había cometido un error y a Juan le había puesto 86, siendo que en realidad sacó 68, ¿Cuál será el promedio correcto?




SOLUCIONES


Problema 1

Una forma de solución es la siguiente:

Las tarjetas terminan con 7 del 1 al 100 son diez: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 y 97.

Por lo tanto del 1 al 1000 son cien, por lo que del 1 al 2000 son doscientas tarjetas, más la tarjeta número 2007, dan un total de 201 tarjetas.

Por la que quedan 2010 – 201 = 1809 tarjetas.

Las tarjetas terminadas en 3 del 1 al 100 son diez: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83 y 93.

Por lo tanto del 1 al 1000 son cien, por lo que del 1 al 1800 son 180 tarjetas, más la tarjeta número 1803, dan un total de 181 un tarjetas.


Problema 2

Llamaremos DR al Dragón Rojo y DV al Dragón Verde. Planteamos ecuaciones.

Primera situación:
“Si el Dragón Rojo tuviera 6 cabezas más que el Dragón Verde” es DR = DV + 6
“entre los dos tendrían 34 cabezas” es DR + DV = 34

Segunda situación:
“Pero el Dragón Rojo tiene 6 cabezas menos que el Verde” es DR = DV – 6
Sustituimos el valor de DR en la primera situación:

DR + DV = 34

DV + 6 + DV = 34

2DV = 34 – 6

DV = 28 / 2

DV = 14 cabezas

Sustituimos este valor en la segunda situación:

DR = DV – 6

DR = 14 – 6

DR = 8 cabezas

El Dragón Rojo tiene 8 cabezas.

Problema 3

Si x es el total de libros, el 25% de los libros (las novelas) es (25/100)x = (1/4)x y 1/9 de los libros (la poesía) es (1/9)x. Entre ambos tenemos (1/4)x + (1/9)x = (1/4 + 1/9)x = (13/36)x. El único múltiplo de 36 entre 50 y 100 es 72 para que no dé una fracción de libro, sino un número entero de libros.

Esto quiere decir que hay 72/4 = 18 libros de novelas, 72/9 = 8 libros de poesía y 46 de otros temas.

Otra opción es hacer una lista o una tabla probando valores desde 50 a 100 libros, hasta obtener que 72 es el único valor posible para el total de libros sin que den fracciones en las novelas y poesías.

Problema 4

Solución 1: Darse cuenta que cada dos horas habrá tres minutos de diferencia, dos que se atrasó el reloj del papá y uno que se adelantó el de la mamá. Para hacer 60 minutos de diferencia se necesitan 60/3 = 20 periodos de dos horas, es decir, 40 horas en total.
Solución 2: Hacer una lista o una tabla completa cada dos horas hasta llegar a los 60 minutos de diferencia entre las horas de los dos relojes, así:

Horas

2:00

4:00

6:00

8:00

10:00

12:00

14:00

16:00

18:00

20:00

40:00

Reloj

papá

1:58

3:56

5:54

7:52

9:50

11:48

13:46

15:44

17:42

19:40

 

39:20

Reloj

mamá

2:01

4:02

6:03

8:04

10:05

12:06

14:07

16:08

18:09

20:10

 

40:20

Diferencia

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

 

60



Problema 5

El promedio que obtuvo de 6 estudiantes fue de 85, por lo que la suma de las 6 calificaciones es de: 85 x 6 = 510

Restamos la cantidad introducida por error: 510 – 86 = 424

Agregamos la cantidad correcta: 424 + 68 = 492

Calculamos el promedio correcto: 492/6 = 82