Continuando
con los Problemas introductorios para la Olimpiada Mexicana de Matemáticas
tenemos ahora los problemas del 11 al 15.
Al igual que los anteriores también estos
cuentan con solución.
11 – ¿Cuánto es lo menos que puede valer
la suma de dos números de 4 cifras que se forman repartiendo los dígitos 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7 y 8?
(a) 2468 (b)
3333 (c) 3825 (d) 4734 (e) 6912
12 – En una mesa hay dos montones de
monedas, el de la izquierda con 7 y el de la derecha con 10. Para recogerlas,
Judith sigue siempre una de las siguientes reglas:
- Tomar 3 monedas de
la pila de la izquierda.
- Tomar 2 monedas de
la pila de la derecha.
- Tomar 1 moneda de
cada pila.
¿Cuál es la menor cantidad de movimientos que debe realizar
Judith para recoger todas las monedas de la mesa?
(a) 5 (b)
6 (c) 7 (d) 8 (e) 9
13 – Cuatro tarjetas tienen un número
escrito de un lado y una frase del otro. Las cuatro frases son “múltiplo de 7”,
“primo”, “impar” y “mayor que 100”. Los cuatro números son 2, 5, 7 y 12. En
cada tarjeta el número escrito de un lado no corresponde con la frase escrita
del otro. ¿Cuál es el número que está escrito en la tarjeta que dice “mayor que
100”?
(a) 2 (b)
5 (c) 7 (d) 12 (e) Imposible determinar
14 – Blancanieves heredó un espejo mágico
que habla, con forma de cuadrado. Si el espejo dice la verdad, su perímetro
aumenta al doble. Si el espejo miente, cada uno de sus lados se reduce en 2 cm.
Sabemos que Blancanieves le hizo 4
preguntas y que dos veces respondió la verdad y dos veces dijo mentiras, pero
no sabemos en qué orden lo hizo. ¿Cuál es el perímetro más largo que podrá
tener el espejo después de las 4 respuestas, si al principio cada uno de sus
lados media 8 cm?
(a) 28cm (b)
80cm (c) 88cm (d) 112cm (e) 120cm
15 – Digamos que un número de tres cifras
es siamés si el número formado por los dos primeros
dígitos es un cuadrado
perfecto y también lo es el número formado por las dos últimas cifras.
¿Cuál es
la suma de todos los números siameses de tres cifras?
(a) 1013 (b)
1177 (c) 1465 (d) 1993 (e) 2016
SOLUCIONES
Solución 11. Es claro que lo mejor es
que los dígitos de los millares sean los más chicos, que le sigan los de las
centenas, luego los de las decenas y finalmente los de las unidades, por
ejemplo, que los números sean 1357 y 2468. La suma que se obtiene es 3825. La
respuesta es (c).
Solución 12. Para dejar un número de
monedas múltiplo de 3 en el primer montón debe hacer la tercera operación 1, 4
o 7 veces. Para dejar un número par de monedas en el segundo montón debe hacer
la tercera operación 0, 2, 4, 6, 8 o 10 veces. Entonces lo mínimo es hacer la
tercera operación 4 veces, una vez la primera operación y 3 veces la segunda
operación. La respuesta es (d).
Solución 13. Detrás de la tarjeta
“primo” debe estar escrito el 12 ya que es el único que no lo es, así que
detrás de “impar” debe estar el 2 y entonces el cinco debe estar detrás de
“múltiplo de 7”. La respuesta es (c).
Solución 14. Para obtener el mayor
resultado lo mejor es multiplicar por 2 primero y después reducir. Entonces al
final, lo más largo que puede ser el lado es 8 * 2 * 2 – 2 – 2 = 28. En este
caso el perímetro del espejo será 4 * 28 = 112cm. La respuesta es (d)
Solución 15. Los cuadrados de dos
cifras son 16, 25, 36, 49, 64 y 81, así que los únicos números siameses son
164, 364, 649 y 816, cuya suma es 1993. La respuesta es (d).
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