El teorema del binomio, también conocido como el Binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
El teorema del binomio consiste
en una formula con la cual se pueden escribir directamente los términos del
desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una
idea de la estructura del desarrollo de (a + b)n, en donde n es un número entero y positivo,
tenemos enseguida el resultado para algunos valores de n. así por multiplicación directa,
tenemos
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
En cada uno de estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes:
(1)
Cada desarrollo tiene un término
más que el exponente del binomio.
(2)
El exponente de a en el en
el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y decrece
de unidad en unidad en cada uno de los términos siguientes.
(3)
b aparece por primera vez
en el segundo término, con exponente 1 y su exponente aumenta de unidad en
unidad en cada uno de los términos siguientes.
(4)
La suma de los exponentes de a y b es igual al exponente del binomio
en cualquiera de los términos.
(5)
El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente
del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.
(6)
Si en cualquiera de los términos, el coeficiente se multiplica por el
exponente de a y este producto se
divide entre el exponente de b
aumentado en 1, el resultado es el coeficiente del siguiente término.
(7)
El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.
NOTA: Tal vez el inciso 6 no parezca tan evidente en su
observación, y como es de mucha importancia en la determinación de coeficientes,
lo explicaremos con más detalle aplicándolo al desarrollo de (a + b)4.
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
El coeficiente del
tercer término se obtiene del segundo como sigue:
Se multiplica el
coeficiente 4 del segundo término por el exponente 3 de a y este producto se divide entre el
exponente 1 de b aumentado en 1. Es
decir. (4*3) / 1+1 = 6, que es el coeficiente del tercer término. De la misma
forma, de este coeficiente obtenemos (6*2) / 2+1 = 4, que es el coeficiente del
cuarto término y así sucesivamente.
Los siete puntos
anteriores constituyen la ley del
binomio, que se cumple para cualquier exponente entero y positivo. Esta ley
general se presenta por medio de la siguiente
Veamos algunos ejemplos:
Desarrollar (a2 + 2b3)5
(a2 + 2b3)5 = (a2)5 + 5(a2)4(2b3) + 10(a2)3(2b3)2 + 10(a2)2(2b3)3 + 5(a2)(2b3)4 + (2b3)5
Efectuando
las potencias
= a10 + 5(a8)(2b3) + 10(a6)(4b6) + 10(a4) (8b9) + 5(a2) (16b12) + 32b15
Efectuando los productos
= a10 + 10a8b3 + 40a6b6 + 80a4b9 + 80a2b12 + 32b15
Como podemos observar en
el resultado el exponente de a
decrece de dos en dos en cada uno de los términos siguientes esto debido a que
en el binomio a desarrollar a esta
elevada a la dos, y a su vez el exponente de b aumenta de tres en tres en cada uno de los términos
siguientes esto debido a que en el binomio a desarrollar b esta elevada a la tres.
Desarrollo de (a – b)n
Cuando el segundo término del binomio es negativo, los signos del
desarrollo son alternativamente + y –.
Ejemplo:
Desarrollar (3a – b)4
(3a – b)4 = (3a)4 – 4(3a)3(b) + 6(3a)2(b)2 – 4(3a)(b)3 + ( b)4
Efectuando las
potencias
= 81a4
– 4(27a3)(b) + 6(9a2)(b2) – 4(3a)(b3) + b4
Efectuando
los productos
= 81a4 – 108a3b + 54a2b2 – 12ab3 + b4
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