Problemas
introductorios para la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
En
este Blog presento algunos problemas que aparecieron en las primeras etapas de
la Olimpiada de Matemáticas con la idea de que este material sirva como
orientación a los alumnos que desean participar por vez primera; no se
presentan ejercicios rutinarios ni problemas en los que se apliquen
directamente los conocimientos que se adquieren en la escuela; estos son
problemas que requieren una buena dosis de ingenio y de esfuerzo para ser
resueltos. Como en todos los aspectos en el aprendizaje de las matemáticas, el
esfuerzo individual y el enfrentamiento solitario con los problemas son
importantes, pero también es muy importante la discusión con los compañeros y
los profesores.
1 – De todos los números de tres cifras que
cumplen que la suma de sus cifras es 8, se escoge el mayor y el menor. ¿Cuál es
la suma de ellos?
(a) 707 (b)
907 (c) 916 (d) 1000 (e) 1001
2 – Alicia tenía 9 perlas que pesan 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9 gr. Mandó a hacer cuatro anillos con dos piedras cada uno; el peso
de cada uno de los anillos es de 17, 13, 7 y 5 gr. respectivamente. ¿Cuánto
pesa la perla que no se utilizó?
(a) 1 (b)
2 (c)
3 (d) 5 (e) 6
3 – Israel escribió en el pizarrón los números 17,
13, 5, 10, 14, 9, 12 y 16 y calculó su promedio; después tacho dos números de
la lista y notó que promedio era el mismo. ¿Cuáles son los números que tachó
Israel?
(a) 12 y 17 (b)
5 y 17 (c) 9 y 16 (d) 10 y 12 (e) 14 y 10
4 – Sabiendo que a es un número positivo mayor que
1 y b es un número mayor que 1, ¿cuál es el mayor de los siguientes números?
(a) a * b (b)
a + b (c) a/b (d) b (e) a – b
5 – Diana escribió un número de 5 cifras
en el pizarrón y mostró que era múltiplo de 4, 5 y 9; después borro la tercera
y la quinta cifras y escribió asteriscos en su lugar. Si lo que quedó escrito
fue 2 4 * 8 *
, ¿Cuál es la suma de los números que borró?
(a) 13 (b) 10 (c) 9 (d) 5 (e) 4
SOLUCIONES
DE LOS PROBLEMAS
Solución 1. El número más pequeño es
107 y el más grande es 800, así que la suma es 907. La respuesta es (b).
Solución 2. La suma de los pesos de
todas las perlas es 45gr. y el peso de las perlas usadas es 17 + 13 + 7 + 5 =
42. La respuesta es (c).
Solución 3. El promedio de todos los
números de la lista es 12, así que es necesario eliminar una pareja cuya suma
sea 24. La respuesta es (e).
Solución 4. Usando que a < 1 y b
> 1 tenemos que a – b < 0 < a/b < a < a*b < b < a + b. La
respuesta es (b).
Solución 5. Como el número es múltiplo
de 4 y de 5, su última cifra debe ser 0. Como el número es múltiplo de 9 la
suma de sus cifras debe ser un múltiplo de 9. Usando que la suma de las cuatro
cifras que conocemos es 2 + 4 + 8 + 0 = 14, el único digito que podría
completar el número es el 4. La respuesta es (e).
No te pierdas otros cinco diferentes ejercicios en entradas posteriores.
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