Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen los criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5, y que identifiquen las características de los números primos y compuestos.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1.    El ingeniero José es supervisor de obras públicas en el municipio de Tecámac, en el estado de México. Dentro de sus funciones está el organizar las cuadrillas que tienen que ir a realizar las obras públicas. Actualmente el ingeniero trabaja con dos grupos; el primer grupo atiende al lado oriente del municipio y el segundo grupo al poniente. El primer grupo lo conforman 50 integrantes y el segundo grupo 47. Ambos grupos han solicitado que las cuadrillas se organicen de tal forma que todas estén integradas con la misma cantidad de trabajadores y que no haya excepciones.

a.   ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el primer grupo?

b.   ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el segundo grupo?

c.   Si reúne a los trabajadores del grupo 1 y 2 para hacer un solo grupo y reorganizar las cuadrillas ¿cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar?

2.    Si 30 x 45 = 1350:

a.   Escriban cuatro números diferentes a 30 y 45 que sean divisores de 1 350.

b.   Los números 9, 6 y 15, ¿son divisores de 1 350?

c.   En caso de que 9, 6 y 15 sean divisores, ¿por cuál número o números se tendrían que multiplicar cada uno para obtener 1 350?

d.   Los números 4 y 7 son divisores de 1 350? ¿Por qué?

3.    Con base en la siguiente tabla contesten lo que se solicita:

1160	4758	7299	1981
151515	1620	35532	6264
4431	52380	489	166

a.   ¿Cuáles números son divisibles por 2, por 3 y por 5?

b.   ¿Qué características debe tener un número para que sea divisible por 2, por 3 y por 5?

c.   ¿Hay números que tengan más de un divisor? ¿Cuáles?

Consideraciones previas:

El primer problema apunta a identificar las características de los números compuestos y primos. Es posible que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la división (la galera) para determinar cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar:

1.   Del primer grupo de trabajadores, es muy probable que los alumnos hagan divisiones para encontrar los divisores de 50, algunos de éstos son: 1, 2, 5, 10, etc. De aquí la reflexión del significado del divisor y el resultado que se obtenga, por ejemplo 50 ÷ 2 = 25, por lo tanto, se pueden formar dos grupos de veinticinco personas.

2.    Del segundo grupo de trabajadores, es posible que procedan de la misma forma que para el primer, la conclusión que debe obtenerse es que sólo se puede hacer un grupo de 47, o bien 47 grupos con una persona cada uno.

La resolución de este problema se puede aprovechar para discutir e inferir las características de un número primo (en este caso 47) y un número compuesto (50). Se sugiere plantear la búsqueda de números primos y compuestos, con la finalidad de aplicar estas nociones.

Del segundo problema resulta obvio decir que 30 y 45 son dos divisores, el argumento que puede darse es que 1 350 es múltiplo de ellos y probablemente algunos alumnos recurrirán a la comprobación realizando la división. Sin embargo, la expectativa es que los alumnos identifiquen que al descomponer en factores los números 30 y 45, éstos también son factores y por consecuencia, también divisores de 1 350. La multiplicaciones 6x5x45=1350 y 6x5x3x15= 1350 son el resultado de factorizar el 30 en 6 x 5 y el 45 en 3 x 15, por lo que se puede concluir que otros divisores de 1 350, además de 30 y 45, también son el 3, 5, 6, 15. Lo anterior ayuda a que los alumnos escriban los números en función de sus factores primos, además de que puedan realizar conjeturas como: si un número es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y 3, ¿entonces un número que sea divisible por 2 o 3, es siempre divisible por 6?

Si bien, desde primaria, hay un acercamiento a la regularidad de los múltiplos de 2, 3 y 5. Es probable que en el problema 3 los alumnos realicen las divisiones para saber si los números son divisores de 2, 3 y 5. Si es así, posteriormente se trata de identificar las características comunes de los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Con ello se espera consoliden que:

a.    Toda cifra que tiene una terminación par o cero es divisible por 2.

b.    Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3, el número es divisible por 3.

c.    Todo número que tiene terminación en 5 o 0, es divisible por 5.

De esto último se espera que los alumnos reconozcan que estos criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural dando como resultado otro número natural, sobre todo cuando se tienen cantidades grandes.

Divisor	2	3	5
Condiciones para que sea divisor	El número debe terminar en 0 ó múltiplos de 2. Es decir, 0,2,4,6 y 8	La suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3	Debe terminar en 5 ó 0.