Criterios de divisibilidad

Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que repartir cantidades de cosas entre personas, dándole a cada una el mismo número de unidades.

A través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía solución y a veces no. Este hecho hizo que se estudiase que relación se encontraba entre los números en los que este problema sí tenía solución y los números en los que no. De esta forma comenzó a estudiarse la divisibilidad.

Cuando se dividen dos números enteros y el residuo de la división es cero, el dividendo contiene exactamente al divisor, el primer número es divisible entre el segundo.

Ejemplos

434 ÷ 7 = 62, no hay  residuo       434  es divisible entre  7

985 ÷ 9 = 109, el residuo es 4      985  no es divisible entre  9

Un número a es divisible entre otro número b si el residuo de la división a ÷ b es cero

Para conocer si un número es múltiplo de otro, es decir, para averiguar si es divisible por ese otro, no siempre es necesario hacer la división para saber si el cociente es exacto, pues se conocen ciertas características que deben poseer los números para ser múltiplos de otros determinados.

La siguiente tabla nos muestra los criterios de divisibilidad más utilizados.

Divisible por:	Criterio	Ejemplo
2	Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es múltiplo de 2 (número par)	568; 8 es múltiplo de 2
3	Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3	276; 2 + 7 + 6 = 15; 15 es múltiplo de 3
4	Un número es divisible por 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4	1516; 16 es múltiplo de 4
5	Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 5	2575; 5 es múltiplo de 5
6	Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3	144; 4 es múltiplo de 2 144;1 + 4 + 4 = 9; 9 es múltiplo de 3
7	Un número es divisible por 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es cero o es un múltiplo de 7	343; 34 – (3×2) = 28; 28 es múltiplo de 7
8	Un número es divisible por 8 si la cifra de la suma de las unidades, mas el duplo de la cifra de las decenas, mas el cuádruplo de la cifra de las centenas, es múltiplo de 8	21184; 4+ (8×2) + (1×4) = 4 + 16 + 4 = 24; 24 es múltiplo de 8
9	Un número es divisible por 9 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9	3744; 3 + 7 + 4 + 4 = 18; 18 es múltiplo de 9
10	Un número es divisible por 10 si la cifra de las unidades es cero	120 250 1000
11	Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, es cero o es múltiplo de 11	42702; 4 + 7 + 2 = 13;        2 + 0 = 2;  13 – 2 = 11;     11 es múltiplo de 11
12	Un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4	288; 2 + 8 + 8 = 18; 18 es múltiplo de 3 288; 88 es múltiplo de 4
13	Un número es divisible por 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13	364; 4(9) = 36 – 36 = 0
17	Un número es divisible por 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17	204; 4(5) = 20 – 20 = 0
25	Un número es divisible por 25 cuando el número formado por las últimas dos cifras son cero o es múltiplo de 25	175; 75 es multiplo de 25
100	Un número es divisible por 100 si las últimas cifras son dos ceros	2700 1700 25400

EJERCICIOS 

¿Qué cifra completa el espacio sobre la línea para que el número sea múltiplo de a?

  1.      12__2        a = 4

  2.      852__        a = 6

  3.      504__        a = 8

  4.      75__6        a = 9

  5.      874__        a = 11   

  

  6.   Un pastor cuida un rebaño que no pasa de 777 ovejas y no es inferior a 707. Si las ovejas se  

        agrupan de 2 en 2 sobra una; lo mismo pasa si se agrupan de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5, o

        de 6 en 6. Pero si se agrupan de 7 en 7, no sobra ninguna. ¿Cuántos animales forman el 

        rebaño?

   SOLUCIONES:

1.    1212; 1232; 1272; 1292

2.    8520; 8526

3.    5040; 5048

4.    7506

5.    8745

  6.    Los únicos múltiplos de 5 sobrando una oveja son 721 y 756, y ambos son múltiplos de 

        7; de estas dos cantidades solo hay una que es múltiplo de 2 sobrando una oveja y es 

        721. 

        Por lo tanto 721 es la respuesta.