La resolución de problemas es uno
de los principales objetivos del proceso de aprendizaje, dado que implica un
conocimiento en acción.
Un problema es aquel cuya solución
no es evidente, no surge por aplicación directa de ningún resultado conocido,
sino que para resolverlo es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos
o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos; permite múltiples enfoques y
genera diversas soluciones; establece un vínculo entre la situación propuesta y
el mundo real (criterio de relevancia).
Aquí se muestran cinco problemas de
naturaleza geométrica no rutinarios, así como los procesos de resolución de los
mismos.
Problema 1.
En el rectángulo de la figura, M y
N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente, y P y Q son las
respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. Suponiendo que AD mide 5cm y
que AB mide 3cm, ¿cuántos centímetros tiene de superficie el cuadrilátero MPQD?
(a) 2.75 (b) 3 (c) 3.25 (d) 3.75 (e) 4
Problema 2.
Un círculo
cuyo radio mide 1 cm está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está
inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros
mide el radio de éste último círculo?
(a) 1 (b) 
(c)/ 2 (d) 
(e)/ 2
(c)/ 2 (d) (e)/ 2
Problema 3.
En la
figura, el área del cuadrado de mayor tamaño es igual a 1 m2. Una de
sus diagonales se divide en tres segmentos de la misma longitud. El segmento de
en medio es la diagonal del pequeño cuadrado gris. ¿Cuál es el área del
cuadrado pequeño?
(a) 1/10 m2 (b) 1/9 m2 (c) 1/6 m2 (d) 1/4 m2 (e) 1/3 m2
Problema 4
Los muchachos miran las
figuras caprichosas que se forman en el piso con los mosaicos que lo recubren.
Daniela llama a sus amigos para
decirles que le gustaría saber el perímetro y el área de la figura que se forma
con las líneas de dos mosaicos: un segmento de recta y dos arcos. Todos ponen
atención a la figura que Daniela señala y deciden apoyarla. Cada uno de los
mosaicos que están observando mide 20 cm. de lado y tiene marcado un arco. En
el dibujo de arriba se muestra la figura que señala Daniela, los arcos se
trazan apoyándose en el vértice C y en el vértice A.
¿Cómo calcularías el área y
el perímetro de la figura sombreada?
Problema 5
Un papel de forma cuadrada
de 20 cm. de lado tiene una cara de color gris y la otra de color blanco. Se
divide cada lado en cuatro partes iguales y se doblan las puntas del cuadrado
por los segmentos punteados que se indican en la figura 1, con lo que se
obtiene la situación de la figura 2. Calcula la superficie del cuadrado gris de
la figura 2.
SOLUCIONES
Solución 1.
Observemos que si juntamos los triángulos ABM y DNC, éstos formarán un
rectángulo de 2.5 x 3, y que el área de MPQD es la mitad del área restante MBND
para el rectángulo total, esto es: 5 x 3 - (2.5 x 3/2)=3.75. La respuesta es
(d).
Solución 2.
Del centro de los círculos
tracemos segmentos a los puntos de tangencia del círculo menor con el cuadrado;
así el cuadrado quedará dividido en cuatro cuadrados de lado 1, y el radio del
círculo mayor será igual a la diagonal de cualquiera de ellos. Usando Pitágoras
deducimos el resultado. La respuesta es (b).
Solución 3.
Cada lado del cuadrado gris
mide la tercera parte del cuadrado grande, así que el área del cuadrado es 1/3
x 1/3= 1/9 veces el área del cuadrado mayor. La respuesta es (b).
Solución 4.
Trazar dos diagonales, una en cada
mosaico y observar que los “gajos” que se forman son iguales, con lo que al
colocar el gajo sombreado en el lugar que ocupa el gajo sin sombrear se puede
completar el triángulo BDF y calcular su área:
La base del triángulo BDF mide 40
cm. y su altura 20 cm., por lo que su área mide:
40 x 20 ÷ 2 = 400 cm2.
Por lo que el área de la figura
sombreada es de 400 cm2.
Solución para el perímetro
Para calcular el perímetro de la
figura sombreada se obtiene el perímetro de la circunferencia completa.
Perímetro de la circunferencia: 2r
× π = 125.66 cm.
Perímetro de la cuarta parte de la
circunferencia: 125.66 cm ÷ 4 = 31.42 cm.
Perímetro de la figura sombreada =
Longitud del segmento BF + la cuarta parte del perímetro la circunferencia,
arco BD + la cuarta parte del perímetro de la circunferencia, arco DF:
40 cm + 31.42 cm + 31.42 cm
= 102.84 cm.
Solución 5
El lado del cuadrado original es
EF = FG = 20 cm.
Área EFGH = 20 X 20 = 400 cm2
Si se divide en cuatro partes,
tenemos que
EB = FC = GD = HA = 20 / 4 = 5 cm.
BF = CG = DH = AE = EF – EB = 20 –
5 = 15 cm.
Como se doblaron las esquinas del
papel para formar el cuadrado gris IJKL, también se formaron una serie de
triángulos con áreas iguales, es decir
Área EBA = Área IBA = Área BFC =
Área BJC = Área CGD = Área CKD = Área DHA = Área DLA
Área EBA = (EB)(AE) / 2 = (15)(5)
/ 2 = 75 / 2 = 37.5 cm2
El área del cuadrado gris IJKL es
igual al área del cuadrado EFGH menos el área de los ocho triángulos blancos.
Área IJKL = Área EFGH – 8 (Área
EBA) = 400 – 8 (37.5) = 400 – 300 = 100 cm2
No hay comentarios:
Publicar un comentario