EXPONENTES
Los exponentes también se llaman potencias
o índices
10 a la potencia 2
El exponente de un número nos dice cuántas
veces se usa el número en una multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la
segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al
cuadrado"
Más ejemplos:
Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
En palabras: 53 se puede leer "5 a la
tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al
cubo"
Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
En palabras: 24 se puede leer "2 a la
cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a
la cuarta"
Y los exponentes hacen más fácil escribir
muchas multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer
que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Puedes multiplicar cualquier número por sí
mismo tantas veces como quieras con esta notación.
Así que, en general:
an te dice que multipliques a por sí mismo,
y hay n de esos a's: definición
de exponente
- Exponentes negativos
¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de
multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide
entre el número.
Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125
O varias divisiones:
Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008
Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008
exponente negativo
Este último ejemplo nos muestra una manera
más fácil de manejar exponentes negativos:
Calcula la potencia positiva (an)
Después cacula el recíproco (o sea 1/an)
Más ejemplos:
Exponente negativo Recíproco
del exponente positivo Respuesta
4-2
= 1 / 42 = 1/16 = 0,0625
10-3
= 1 / 103 = 1/1.000
= 0,001
¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?
Si el exponente es 1, entonces tienes el
número solo (por ejemplo 91 = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1
(por ejemplo 90 = 1)
Tiene sentido
Mi método favorito es empezar con
"1" y multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y
tendrás la respuesta correcta, por ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5
... etc...
52 1
× 5 × 5 25
51 1
× 5 5
50 1 1
5-1 1
÷ 5 0,2
5-2 1
÷ 5 ÷ 5 0,04
... etc...
Si miras esta tabla, verás que los
exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo (y
bastante sencillo) patrón.
LEYES
DE LOS EXPONENTES
Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o
índices
10 a la potencia 2
El exponente de un número dice cuántas veces
se multiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la
segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al
cuadrado"
Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes"
(o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:
El
exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces
Lo
contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa
dividir
Un exponente fraccionario como 1/n quiere
decir hacer la raíz n-ésima:
Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos
los exponentes!
Y todas las reglas que siguen se basan en
esas ideas.
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están
después):
Ley Ejemplo
x1 = x 61
= 6
x0 = 1 70
= 1
x-1 = 1/x 4-1
= 1/4
xmxn = xm+n x2x3
= x2+3 = x5
xm/xn = xm-n x4/x2
= x4-2 = x2
(xm)n = xmn (x2)3
= x2×3 = x6
(xy)n = xnyn (xy)3
= x3y3
(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn x-3
= 1/x3
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1
= 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5
... etc...
52 1
× 5 × 5 25
51 1
× 5 5
50 1 1
5-1 1
÷ 5 0,2
5-2 1
÷ 5 ÷ 5 0,04
... etc...
verás que los exponentes positivos, cero y
negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande
(o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas
"x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras
"n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces
multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso
"n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx =
x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que
hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes
cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces.
Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 =
(xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en
ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy =
xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las
"x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) =
(xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las
fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
Y eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes,
acuérdate de esto:
siempre puedes calcular todo si entiendes las
tres ideas de la parte de arriba de esta página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
Exponente positivo (n>0) 0n = 0
Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre
0)
Exponente = 0 Ummm
... ¡lee más abajo!
El extraño caso de 00
Hay dos argumentos diferentes sobre el valor
correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es
"indeterminado":
x0
= 1, así que ... 00 = 1
0n = 0, así que ... 00 = 0
Cuando dudes... 00 = "indeterminado"
EXPONENTE FRACCIONARIO
Exponentes
fraccionarios
También
se llaman "radicales"
Exponentes
10
a la potencia 2
El
exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En
este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En
palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la
potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"
Exponentes
fraccionarios: ½
En
el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera
"½"? ¿Cómo funcionaría?
Pregunta:
¿Qué es x½ ?
Respuesta:
x½ = la raíz cuadrada de x (o sea x½ = √x)
¿Por
qué?
Porque
si calculas el cuadrado de x½ tienes: (x½)2 = x1 = x
Para
entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:
1
Primero,
hay una regla general: (xm)n = xm×n
(Porque
primero multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso
"n" veces, en total m×n veces)
Ejemplo:
(x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6
Así
que (x2)3 = x2×3 = x6
2
Ahora,
vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½:
(x½)2
= x½×2 = x1 = x
Cuando
hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la raíz cuadrada de x
Probamos
con otra fracción
Vamos
a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):
¿Qué
es x¼?
(x¼)4
= x¼×4 = x1 = x
Entonces,
¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta
de x.
Así
que x¼ = la raíz cuarta de x
Regla
general
De
hecho podemos hacer una regla general:
Un
exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:
Ejemplo:
¿Cuánto es 271/3 ?
Respuesta:
271/3 = 27 = 3
¿Qué
pasa con fracciones más complicadas?
Las
fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:
una
parte con un número entero, y
una
parte con una fracción del tipo 1/n
Para
entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):
Así
que tenemos esto:
Un
exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz
la raíz n-ésima
Ejemplo:
¿Cuánto es 43/2 ?
Respuesta:
43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8
Ahora...
¡Juega con el gráfico!
Mira
cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta
animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona
bien. Cosas que probar:
Empieza
con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas 1/2, 1/3 y 1/4
Después
prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3 etc.
Ahora
haz que el exponente sea -1
Finalmente
prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m más pequeño,
después n más grande: la curva debería dar vueltas.
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