División Sintética

División sintética

La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma $x-c$ y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio $.$  Considere un polinomio de grado $n$ de la forma:

$P(x)=$ an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+ a2 x2 + a1 x+ a0

1.       Resuelve los problemas siguientes.

Principio de Inducción Matemática

Los siguientes ejercicios los elaboré, utilizando el editor de ecuaciones de WORD, así aprovechamos la tecnología para hacer los ejercicios de manera clara y ordenada, lo cuál nos ayuda a comprender con mayor claridad lo que es la inducción. Espero les sirva para futuros trabajos.

Página Web consultada: Inducción Matemática

El uso de geogebra en Álgebra

GeoGebra

GeoGebra es un software dinámico de código abierto para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Ofrece un entorno donde el álgebra y la geometría se conectan de forma plena.

El siguiente ejercicio lo resolví con la ayuda del programa de Geogebra.

Es una manera rápida y sencilla de comprobar tús operaciones, espero te sea de utilidad, para más información ingresa a la página de geogebra:

EJERCICIO DE PROBABILIDAD

Aplicación de los conocimientos de probabilidad y el uso de la tecnología

Para realizar éste ejercicio utilicé EXCEL, para la graficación, así como para hacer los cálculos de manera rápida y eficiente, las cuales nos ayudan a obtener una presentación excelente, además de obtener los resultados de manera confiable.

Examen de Geometría

Este examen apliqué a los alumnos de primer año de secundaria. 

Y para que no se nos olvide la geometría veamos si pueden responderlo. Saludos

Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Intención didáctica: Que los estudiantes analicen gráficas con secciones rectas y curvas y las asocien con la situación que representan.

Consigna 1. En equipos, seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:

Gráfica de Velocidad vs Tiempo

a)    Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más bajo que por el más alto.

b)    Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el tiempo perdido por la infracción.

c)    En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al tanque hasta que quedó lleno.

d)    Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.

Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia.

Consigna 1: En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas.

El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en un punto O.

     

a)    ¿Cuál es la razón entre OA’ y OA?______________________________

b)    Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que guardan la misma razón que OA’ y OA.

c)    Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre ambas medidas.________________________________________

LA EVALUACIÓN EN EL CONTEXTO DE LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIÓN BÁSICA

Conceptualización

La evaluación debe ser entendida como el conjunto de acciones dirigidas a obtener información sobre el grado de apropiación de conocimientos, habilidades, valores y actitudes; en función de las experiencias provistas en clase y por otro lado, aporta elementos para la revisión de la práctica docente.

Para desarrollar las competencias propuestas en los programas, se requiere una evaluación formativa por lo que las evidencias del aprendizaje guían la práctica docente y con ellas, se reconocen las dificultades que los alumnos pueden presentar en sus procesos de aprendizaje. No se trata de medir, sino tener elementos cualitativos y cuantitativos relacionados con el desarrollo integral del estudiante, lo cual implica cambiar la visión de la evaluación.

En los programas de estudio y los materiales educativos, la evaluación se concibe en términos formativos como un proceso, no como un momento de la enseñanza y del aprendizaje. En este sentido, la evaluación formativa implica una interacción permanente que se realiza en el curso del aprendizaje, una reflexión sistemática y un diálogo con los alumnos acerca de los resultados obtenidos. Asimismo, aclara el origen de las dificultades educativas proporcionando al docente elementos para mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje.

La evaluación de los aprendizajes es el proceso que permite obtener evidencias, elaborar juicios y brindar retroalimentación sobre los logros de aprendizaje de los alumnos a lo largo de su formación; por tanto, es parte constitutiva de la enseñanza y del aprendizaje.[1]

MATEMÁTICAS

¿Qué se evalúa?

Deben evaluarse los tres elementos fundamentales del proceso didáctico: el docente, las actividades de estudio y los alumnos. Los dos primeros pueden ser evaluados mediante el registro de juicios breves en los planes de clase, sobre la pertinencia de las actividades y de las acciones que realiza el profesor en la clase.

Respecto a los alumnos deben evaluarse dos aspectos. El primero se refiere a qué tanto saben hacer y en qué medida aplican lo que saben, en estrecha relación con los contenidos matemáticos que se estudian en cada grado. Para apoyar a los profesores en este aspecto se han definido los aprendizajes esperados en cada bloque temático, en los cuales se sintetizan los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben aprender al estudiar cada bloque.

Los aprendizajes esperados son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio mencionados.

Con el segundo aspecto por evaluar se intenta ir más allá de los aprendizajes esperados y, por lo tanto, de los contenidos que se estudian en cada grado. Se trata de las competencias matemáticas, cuyo desarrollo deriva en conducirse competentemente tanto en el estudio como en la aplicación de las matemáticas, ante las situaciones que se presentan en la vida cotidiana.

¿Para qué se evalúa?

Aunque suena redundante, se evalúa para mejorar lo que se evalúa, es decir, para mejorar el desempeño de los alumnos y del profesor, así como la calidad de las actividades que se plantean para estudiar matemáticas.

Para el estudiante, la evaluación es una oportunidad de mostrar lo que ha aprendido y lo que aún le falta por aprender. Es una forma de establecer un diálogo con el profesor en el que ambos obtienen una retroalimentación recíproca y es una fuente de sugerencias de acción (Clark, 2002).

¿Con qué evaluar?

Para evaluar el desempeño de los alumnos es necesario plantear tareas que sean nuevas, es decir, que no reproducen una tarea ya resuelta, sino que constituyen una variante de ésta. Preferentemente dichas tareas deben ser complejas, es decir, que impliquen movilizar diversos conocimientos y habilidades. Además, las mencionadas tareas deben ser adidácticas, esto es, que el enunciado de la consigna no induzca el proceso a seguir y no indique los recursos pertinentes para su resolución (Denyer, 2007).

Además de la información que aportan las tareas planteadas, se pueden utilizar otros recursos, como registros breves de observación, cuadernos de trabajo de los alumnos, listas de control, anecdotarios, portafolios, etcétera.

¿Cómo evaluar?

Principalmente mediante la observación del trabajo que realizan los alumnos, para tratar de conocer sus logros y el origen de las dificultades que enfrentan. Es necesario acostumbrarnos a tomar notas breves que nos informen sobre el desempeño de los alumnos, sobre todo de aquellos que muestran más dificultades.

Toda la información que logremos recabar, nos permitirán establecer juicios tanto de los logros y dificultades que muestran los alumnos, como de las acciones pertinentes para que los resultados mejoren. Es importante que dichos juicios sean conocidos por los propios alumnos, por otros profesores involucrados en su proceso de formación y por los padres de familia, con el fin de que puedan apoyar las acciones para mejorar.

Con el fin de aportar algunos elementos que permitan describir el avance de los alumnos en aspectos que van más allá de los conocimientos y habilidades y que hemos llamado competencias matemáticas, en seguida se establecen algunas líneas de progreso que definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar:

a)   De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. La mayoría de los profesores de nivel básico estará de acuerdo en que cuando los alumnos resuelven problemas hay una tendencia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso en varias ocasiones para saber si el procedimiento que siguen es correcto. Resolver de manera autónoma implica que los alumnos se hagan cargo del proceso de principio a fin, considerando que el fin no es sólo encontrar un resultado, sino comprobar que es correcto, tanto en el ámbito de los cálculos como en el de la solución real, en caso de que se requiera.

b)   De la justificación pragmática al uso de propiedades. Según la premisa de que los conocimientos y las habilidades se construyen mediante la interacción de los alumnos con el objeto de conocimiento y con el maestro, un ingrediente importante en este proceso es la validación de los procedimientos y resultados que se encuentran, de manera que otra línea de progreso que se puede apreciar con cierta claridad es pasar de la explicación pragmática “porque así me salió” a los argumentos apoyados en propiedades o axiomas conocidos.

c)   De los procedimientos informales a los procedimientos expertos. Un principio fundamental que subyace en la resolución de problemas tiene que ver con el hecho de que los alumnos utilicen sus conocimientos previos, con la posibilidad de que éstos evolucionen poco a poco ante la necesidad de resolver problemas cada vez más complejos. Necesariamente, al iniciarse en el estudio de un tema o de un nuevo tipo de problemas los alumnos usan procedimientos informales; a partir de ese punto es tarea del maestro sustituir estos procedimientos por otros cada vez más eficaces. Cabe aclarar que el carácter de informal o experto de un procedimiento depende del problema por resolver; por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo.

¿A quién se dirige la evaluación?

La evaluación se dirige a los tres elementos fundamentales del proceso didáctico: el docente, las actividades de estudio y los alumnos. Los dos primeros pueden ser evaluados mediante el registro de juicios breves. Los alumnos deben evaluarse considerando los aprendizajes esperados y el desarrollo de las competencias matemáticas.

¿Cuándo evaluar?

La evaluación es un proceso permanente y continuo, se evalúa durante el desarrollo de las actividades y mediante la búsqueda de información en los trabajos que realizan los alumnos.

Si se considera que la evaluación es una forma de dialogar entre el profesor y el alumno, este diálogo debe ser constante para que se puedan realizar, en tiempo y forma, las acciones necesarias para mejorar.

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[1] SEP. Plan de Estudios 2011, pp35. México.

RELACIÓN TUTORA

De acuerdo a textos escritos por el creador de éste modelo el Dr. Gabriel Cámara Cervera y Hugo César Hernández Bolaños de la unidad de asistencia técnica a la educación básica de la secretaría de educación en Michoacán, el modelo de relación tutora es un modelo de enseñanza – aprendizaje horizontal donde participan por lo menos dos personas un tutor y un tutorado.

 El tutor es la persona que está preparada sobre un tema en específico puede ser de matemáticas o bien de comprensión lectora y está dispuesto a enseñar. El tutor debe ser capaz de propiciar un ambiente de calidez y confianza, tanto en las características del lugar en que se trabaja como en la relación tutor-tutorado.El tutor conoce bien el tema con el que va a tutorar.

 El tutorado es la persona que desea aprender y está dispuesto a seguir las indicaciones y recomendaciones del tutor, en un momento dado también puede convertirse en tutor. El tutorado es capaz de seleccionar los temas que llaman su interés. De hecho, un antecedente es el modelo de Ovide Decroly, sin llegar a concretar en el desarrollo y en el concepto de globalización ya que este autor pensaba que los niños poseen un pensamiento sintético y no analítico, es decir, primero ven el todo de los objetos seleccionados y luego empiezan a revisar sus partes. El tutorado es capaz de aprender por sí mismo, es capaz de delimitar los confines de su aprendizaje, esta es una habilidad que no es innata, sino que es necesario desarrollarla, el tutorado es capaz de marcar el ritmo de su aprendizaje.

 Los propósitos de la relación tutora son:

• Propiciar que el tutorado aprenda a leer con sentido, que sería el equivalente de lo que antes se llamaba lectura de comprensión.
• Propiciar que el tutorado mejore sus competencias de comunicación tanto oral como escrita.
• Que el tutorado mejore su competencia de comunicación escrita
• Propiciar que el tutorado aprenda a desarrollar su capacidad de investigación tanto bibliográfica como de campo.
• Que desarrolle o en su caso mejore su manejo de las TICs.

Desarrollo del proceso de tutoría

En la realidad, se considera a este modelo de tutoría como un proceso entendiendo éste como "El conjunto de actividades o eventos (coordinados u organizados) que se realizan o suceden (alternativa o simultáneamente) bajo ciertas circunstancias con un fin determinado" y en donde la calidad de alternatividad o de simultaneidad, permite, como proceso social-educativo, la construcción de diversas estrategias que dependen fundamentalmente de tres elementos; 1.- Del tutor, 2.- De la forma de aprendizaje del tutorado y 3.- Del contenido o tema que se vaya a estudiar, así, al utilizar viñetas no numerales, expresamos la permisividad a estructurar el "Plan de Trabajo" del tema en los siguientes términos:

• De ser posible, que el tutor se cerciore de la existencia o de la falta de los materiales adecuados, de tal manera que pueda plantear alternativas al trabajo preparado con antelación.
• Para este momento, el tutor ya habrá tenido un "guión de tutoría que le permitirá guiar los pasos del tutorado.
• También es posible plantearse o crear propósitos y objetivos que marcarán uno de los ( ) de evaluación.
• Creación de un ambiente cálido y de confianza en el espacio y en las relaciones interpersonales.
• Presentación entre tutor y tutorado(s). Que depende de si ya hay o no conocimiento entre ambos.
• Presentación al tutorado del catálogo de los temas[7]al que puede acceder el tutorado,
• Selección del tema a desarrollar por los participantes de la tutoría.
• Ya que se selecciona el tema, se puede preguntar al tutorado: 1,- De qué cree que se trata el tema; 2.- Qué expectativas tiene del trabajo, pidiéndole enseguida, que escriba ambas cosas,
• Proporcionar al tutorado el documento sobre el tema que él (o ellos) seleccionó (ó seleccionaron)
• Se sugiere que cuando se trabaje con más de un tutorado, cada uno escoja temas distintos a fin de permitir un mejor desempeño del trabajo individual.
• Hacer una contrastación sobre lo que el (o los) tutorado(s) creía que se trataba el tema y el documento que acaba de leer.
• Pedirle que escriba una sinopsis o un resumen de lo comprendido en la primera lectura.
• Realizar una lista con los términos que desconozca o que no le queden muy claros.
• Realizar una segunda lectura y contrastar con lo que expreso en su primer resumen.
• En algunos casos es necesario ayudar al tutorado leyendo párrafo por párrafo el tutor puede mejorar la lista de palabras desconocidas sugiriendo aquellas que no son de uso muy común y que pueden no ser bien comprendidas por el tutorado.
• El tutorado desarrollará un documento en el que narre lo que le parezca el proceso de lo aprendido y al que llamaremos "registro de aprendizaje"
• Conjuntamente, el tutor deberá ir desarrollando otro documento al que se le llamará "Registro de tutoría", que le ayudará a proponer alternativas ante algunas complicaciones que se le hayan presentado al tutorado pero también para identificar alguna problemática en su trabajo tutoral.
• Posteriormente, el tutorado desarrollará un cuadro de doble entrada dividido en tres columnas y tres subcolumnas, en dónde escribirá las dificultades, las soluciones y los aprendizajes obtenidos. Es en esta última que dividirá en tres (si es que se trabaja por competencias) escribiendo los conocimientos conceptuales, los procedimentales y actitudinales.
• El tutorado hará una pre demostración ante el tutor para saber si los propósitos (basados en los enfoques, los aprendizajes esperados).
• Si ya el tema está concluido, el tutorado estará capacitado para demostrar públicamente su trabajo.
• Este proceso puede ser empleado completamente para temas de lectura de comprensión, en el caso de temas de Matemáticas habrá que hacer algunas adecuaciones.

Hay algunos elementos que el tutorado deberá tomar en cuenta en todo el proceso:

• En todo el proceso, es importante que el tutor respete el ritmo de aprendizaje del tutorado.
• El tutorado será evaluado en la consecución de los propósitos, los aprendizajes esperados y los conocimientos adquiridos a través de una evaluación continua con un enfoque de mejora continua que permitirá conocer si ya empezó un proceso de "aprender a aprender"

Actualmente en la educación básica, este modelo ya ha sido empleado, prueba de ello son los textos que se presentan a continuación:

Estos textos o cuadernillos, presentan en el caso del primero correspondiente a Matemáticas problemas que pueden ser trabajados mediante la tutoría y que tienen como objetivo mejorar la capacidad de solucionar problemas en base a la lectura con sentido, el análisis y la investigación, en el caso del segundo correspondiente a Español se presentan algunas lecturas que trabajadas con tutoría pueden ayudar a mejorar la capacidad de leer con sentido.

Los alumnos que han sido tutores, expresan que es una experiencia de aprendizaje para ellos, este programa lo trabajamos con los maestros de la institución, donde los alumnos fueron tutores de los maestros, cada uno de los maestros de las diferentes asignaturas, tuvieron algunas dificultades porque ya no tenían práctica con las fracciones por ejemplo, pero el trabajo realizado en conjunto fue muy bueno.

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de las rectas notables del triángulo.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.

1.    Analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una  

en la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se cumplan.

Características	Las líneas son perpendiculares a los lados del triángulo o a la prolongación de éstos	Las líneas pasan por un vértice del triángulo	Las líneas cortan los lados del triángulo en los puntos medios	Las líneas dividen a la mitad los ángulos del triángulo	Las líneas se cortan en un punto	Las líneas son paralelas a los lados del triángulo	Las líneas cortan los lados del triángulo en una razón de 2 a 1
Triángulo  1 (mediatrices)
Triángulo 2 (medianas)
Triángulo 3 (alturas)
Triángulo 4 (bisectrices)

Consideraciones previas:

Para realizar la confrontación se sugiere tener dibujada la tabla en el pizarrón o en una hoja de rotafolio y hacer lo siguiente:

a)   Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron anotadas por los equipos.

b)   Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que fundamenten su respuesta.

c)   Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan dos a un lado de la recta y una al otro lado.

Para consolidar su aprendizaje, es importante que los alumnos trancen diferentes triángulos y determinen los lugares geométricos, como son el baricentro, el ortocentro, circuncentro y el incentro.