Clasificación de las fracciones

LA RUEDA DE FRACCIONES: Operaciones

Objetivos:

- Operaciones con fracciones.

- Simplificación de fracciones.

Observaciones:

Presentamos aquí, una hoja de cálculo con fracciones que contiene los ejercicios clásicos de siempre, suma, resta, multiplicación, división y sobre todo simplificación.

Pero los ejercicios aparecen en una rueda, la “Rueda de fracciones”, de forma que las operaciones están concatenadas. Esto quiere decir que el resultado de la primera expresión con operaciones se va a utilizar para empezar la segunda y así sucesivamente.

Por eso, para evitar que los alumnos se equivoquen sistemáticamente desde la primera expresión, hemos colocado en el centro de la rueda, a un personaje, un ladrón, que lleva en su saco TODOS los resultados de las diversas expresiones.

Los alumnos realizan una primera tanda de operaciones y buscan el resultado en el SACO del ladrón. Si lo encuentran, pueden seguir dando vueltas por la rueda. En caso contrario, debe repetir sus cálculos con más cuidado.

Material necesario:

- La rueda de fracciones para cada alumno.

Forma de trabajo:

- Los cálculos se pueden realizar individualmente o por parejas que se ayudan y comprueban sus cálculos.

- La actividad es una COMPETICIÖN para todo el grupo de clase, ganando los primeros que dan toda la vuelta a la “Rueda de fracciones”

Nivel: 2º-3º-4º de ESO

Actividad:

Vete realizando las operaciones que aparecen. Cada vez que llegues a una casilla de SACO, debes comprobar que tu resultado está en el saco del ladrón. Si te has equivocado, debes volver atrás y corregirte

GANA EL PRIMERO  QUE DA LA VUELTA COMPLETA A LA RUEDA CON TODOS LOS RESULTADOS CORRECTOS

Autoevaluacion

Después de lo aprendido durante la lectura y resolución de ejercicios de estas entradas te invito a ser parte de esta auto evaluación, con el fin de que seas consciente de saber si lograste los objetivos señalados al principio.

Para saber mas de las fracciones

Desde siempre el hombre ha utilizado palabras para indicar particiones de una cosa, pero la forma de expresar por escrito en lenguaje matemático esas fracciones ha cambiado, se ha mejorado.

En la antigüedad no se conocían buenos sistemas de numeración, por ello las fracciones recibieron durante mucho tiempo notaciones poco claras e inadecuadas para las aplicaciones prácticas. Los egipcios solamente utilizaban fracciones unitarias, es decir de numerador 1. Los babilonios fueron los primeros en utilizar una notación racional expresando los números de forma algo más parecida a la actual. La expresión de una fracción poniendo el numerador arriba y el denominador abajo se la debemos a los hindúes, pero ellos no ponían entre ambos la raya horizontal que ponemos en la actualidad, esa raya se la debemos a los árabes. Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (1175-1240) contribuyó mucho en extender a Europa en el siglo XIII los conocimientos matemáticos de los árabes. Busca información sobre este extraordinario matemático.

Vídeo que demuestra fácilmente el uso de las fracciones en nuestra vida cotidiana

La utilidad de las fracciones en la vida cotidiana

Los números han surgido a lo largo de la historia por la necesidad que ha tenido el hombre de contar, de medir y de repartir, entre otras. Luego de la aparición de estos números, los matemáticos los sistematizaron y formalizaron como sistemas numéricos, los cuales a su vez sirven de base para desarrollar otras teorías matemáticas, de gran utilidad para el desarrollo de la humanidad.
Los primeros números que se utilizaron fueron los naturales, sin embargo, estos números no son suficientes para representar todas las situaciones cotidianas. Por ello, se dio el surgimiento de otros números como los enteros, los racionales, etc.

¿Cuándo utilizamos las fracciones o números racionales?

• Al seguir instrucciones de una receta de cocina, fraccionamos los ingredientes.

• Cuando vamos al supermercado y queremos adquirir algún alimento como por ejemplo: medio litro de jugo(1/2), un cuarto de kilo de café(1/4), tres cuartos de kilo de queso(3/4) estamos utilizando la noción de fracción.

• Al repartir alimentos como pizza, tortas, pan, chocolate, panque...entre otros seguimos fraccionando.

• También cuando queremos comprar telas la adquirimos utilizando nuestros conocimientos acerca de las fracciones.
  
  
  
  
  
  
  

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes, número racional 

Una fracción representa una división, sabemos que hay diversas divisiones que dan el mismo resultado, valen lo mismo. Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Para obtener otra fracción equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus términos por el mismo número.

• Un número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción. Todas las fracciones equivalentes entre sí expresan el mismo número racional.

Productos cruzados

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados. Multiplicamos sus términos en aspa: El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.

Simplificar una fracción

Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo valor. Por tanto, nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que tenga el numerador y denominador más pequeños. A esa fracción se le llama fracción irreducible porque ya no se puede simplificar más. Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente. Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez, habremos llegado a la fracción irreducible.

Características de los números decimales.

Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Expresen los resultados con números decimales y con fracciones.

El alumno en la primera actividad encuentra el perímetro en fracciones y decimales, al ser combinados, se da cuenta que los números en su parte decimal se repiten, a partir de ahí detecta las diferencias entre los números finito, periódico puro y periódico puro mixto. Deben construir un patrón de características, el cual es el siguiente:

Patrón de Características de los números decimales.

Concepto de fracción

Definición y elementos de una fracción

Una fracción expresa un valor numérico. Sabemos que los números naturales expresan cantidades referidas a objetos enteros, las fracciones expresan cantidades en las que los objetos están partidos en partes iguales. Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar. Una fracción expresa el valor o número que resulta al realizar esa división.

Los elementos que forman la fracción son:

• El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.

• El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad.

• La raya de fracción. Es una raya horizontal que los separa

Otra forma de 

representar una fracción.

Cómo se lee una fracción

Primero se lee el numerador como cualquier número, después se lee el denominador de esta manera:

• Si es el 1 se lee enteros.

• Si es el 2 se lee medios.

• Si es el 3 se lee tercios.

• Si es el 4 se lee cuartos.

• Si es el 5 se lee quintos.

• Si es el 6 se lee sextos.

• Si es el 7 se lee séptimos.

• Si es el 8 se lee octavos.

• Si es el 9 se lee novenos.

• Si es el 10 se lee décimos.

• Si es más de 10 se lee el número terminado en “avos”. Ejemplo: onceavos, doceavos, treceavos, ...

• Si es una potencia de 10 se lee el número terminado en “ésimas”. Ejemplo: centésimas, milésimas, diezmilésimas...



El valor de una fracción

Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división.
No obstante podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.

• Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.
• Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.
• Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.



Pasar una fracción a un decimal

Para pasar una fracción a un número decimal se divide el numerador entre el denominador.
• Hay divisiones cuyo resultado en un número natural.
• Otras divisiones su resultado es un número decimal con algunas cifras decimales.
• Otras divisiones su resultado es un decimal periódico, que tiene un grupo de cifras decimales que se repiten y por muchas cifras decimales que saquemos no se llega a tener de resto 0.


Pasar un decimal a fracción

Para escribir un número decimal no periódico en forma de fracción se pone de numerador el número sin la coma y de denominador el 1 seguido de tantos 0 como cifras decimales tenga el número decimal.

• Un numero natural equivale a una fracción cuyo numerador es ese numero y cuyo denominador es 1

FRACCIONES

Objetivos

Con la lectura de estas entradas sabrás:

• Conocer el valor de una fracción.

• Identificar las fracciones equivalentes.

• Simplificar una fracción hasta la fracción irreducible.

• Pasar fracciones a números decimales.

• Sumar fracciones.

• Restar fracciones.

• Multiplicar fracciones.

• Dividir fracciones.

Antes de empezar

En nuestro lenguaje habitual, utilizamos expresiones como éstas:

"Me queda la mitad".
"Falta un cuarto de hora".
"Tengo un décimo".
"Caben tres cuartos de litro".
"Está al ochenta y cinco por ciento de su capacidad".

En estas expresiones estamos utilizando fracciones. Por tanto el empleo de fracciones es tan antiguo como nuestro lenguaje.

• Una fracción nos sirve para expresar cantidades en cosas partidas en partes iguales.
• Una fracción nos sirve para expresar el valor numérico resultado de una división.
• Una fracción nos sirve para expresar la razón que guardan dos magnitudes proporcionales.
• Una fracción aplicada a un número actúa como operador.
• Una fracción también es el tanto por ciento.
• Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad.
• Una fracción representa un cociente no efectuado de números.

Con estás publicaciones aprenderás a expresarlas matemáticamente, a reconocer su valor numérico y a hacer las operaciones básicas con ellas.

Fracciones II

Simplificar o Reducir una fracción

Consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (resto = 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común) y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor).

Por ejemplo: Simplificar 30/42
Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15.
Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21.
Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por 6.

30		30/6		5
——	=	———	=	—
42		42/6		7

Cuando en una fracción, el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, se dice que es una fracción irreducible.

                                      Suma Y Resta De Fracciones


Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Ejemplo:

3		2		(3 + 2)		5		5		2		(5 – 2)		3
—	+	—	=	———	=	—	;	—	–	—	=	———	=	—
6		6		6		6		7		7		7		7

Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común.
 
Ejemplo:

2		3		(2 x 7)		(3 x 5)		14		15		29
—	+	—	=	———	+	———	=	——	+	——	=	——
5		7		(5 x 7)		(7 x 5)		35		35		35

Multiplicación De Fracciones

El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.
Ejemplo:

3		4		2		(3 x 4 x 2)		24			2
—	x	—	x	—	=	————	=	——	simplificando	=	—
4		5		3		(4 x 5 x 3)		60			5

División De Fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.


Ejemplo:

4		3		(4 x 5)		20
—	:	—	=	———	=	——
9		5		(9 x 3)		27

Fracciones I

Concepto de Fracciones

Una fracción, en general, es la expresión de una cantidad dividida por otra, y una fracción propia representa las partes que tomamos de un todo.

El ejemplo clásico es el de un queso que partimos en porciones. En el dibujo, hemos hecho 8 porciones, 3 rosas y 5 verdes.

Si tomamos las 3 rosas, representan 3 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir   3 / 8  del queso, y si tomamos las 5 verdes, representan 5 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir   5 / 8  del queso.

Las partes que tomamos (3 o 5) se llaman numerador  y las partes en que dividimos el queso  (8) denominador.

Para leer una fracción, el numerador se lee normalmente pero, como veremos a continuación, el denominador tiene una forma especial de leerse.

Denominador	Lectura	Ejemplos
2	medios	5 / 2 = cinco medios
3	tercios	2 / 3 = dos tercios
4	cuartos	3 / 4 = tres cuartos
5	quintos	4 / 5 = cuatro quintos
6	sextos	5 / 6 = cinco sextos
7	séptimos	6 / 7 = seis séptimos
8	octavos	7 / 8 = siete octavos
9	novenos	8 / 9 = ocho novenos
10	décimos	9 / 10 = nueve décimos
mayor de 10	Se agrega al número la terminación avos	10 / 11 = diez onceavos

Clasificación De Las Fracciones

Las fracciones se pueden clasificar de distintas formas; en la siguiente tabla se muestran las características de las más importantes.

Tipo	Características	Ejemplos
Propia	El numerador es menor que el denominador	1 / 2, 7 / 9
Impropia	El numerador es mayor que el denominador	4 / 3, 5 / 2
Homogéneas	Tienen el mismo denominador	2 / 5, 4 / 5
Heterogéneas	Tienen distinto denominador	3 / 7, 2 / 8
Entera	El numerador es igual al denominador; representan un entero	6 / 6 = 1
Equivalentes	Cuando tienen el mismo valor. Dos fracciones son equivalentes si son iguales sus productos cruzados	2 / 3 y 4 / 6 2 x 6 = 3 x 4

Si en una fracción multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por un mismo numero, obtenemos una fracción equivalente a la primera, pues ambas tienen el mismo valor. Por ejemplo:

1		(1 x 4)		4				3		(3 : 3)		1
—	=	———	=	—	=	0,5 ;		—	=	———	=	—	=	0,2
2		(2 x 4)		8				15		(15 : 3)		5

Para los que se les facilita mas con un vídeo... pues aquí lo tienen: