LA CIENCIA REVELADORA DE DIOS

Conferencia del profesor Jose María Cabezas sobre la estrecha relación existente entre la arquitectura y las matemáticas

https://www.youtube.com/watch?v=PLvU13xd_yI

El Número Áureo

Si traducimos la proporción áurea en formas geométricas, observaremos que describe mágicamente muchas de las pautas que vemos en la naturaleza. Los arquitectos la utilizaban para crear edificios de excelente simetría.

Podemos ver como se expresa Fi en las pirámides de Egipto, el Partenón de Atenas y las catedrales góticas europeas; podemos percibir cómo los artistas y artesanos de todas las épocas la utilizan, y podemos verla como descripción perfecta de los principios del crecimiento y el dinamismo en la naturaleza.

¿Quién descubrió el número de oro?

El hecho de que los griegos y posteriormente artistas de todas las épocas hayan adoptado esta proporción como modelo de armonía y de belleza, ya sería motivo suficiente para tratar este número tan extraño con respeto.
Artistas y matemáticos como Lucca Pacioli, Leonardo Da Vinci o como Alberto Durero han designado a este número con nombre tan expresivos como sección áureo, razón áurea o divina proporción.Desde el Renacimiento, muchos pintores han utilizado en sus obras maestras dimensiones relacionadas con la razón áurea.

Proporción Divina en la Arquitectura

Los griegos ya lo conocían, está presente en muchas de sus
manifestaciones artísticas, sobre todo en sus templos y sus esculturas.

La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.

Erodeto, famoso historiador griego del siglo quinto antes de cristo cuenta que los sacerdotes egipcios le había mostrado el hecho de que las dimensiones de la pirámide eran tales que el cuadrado de la altura total era exactamente igual al área de una de las caras, este dato atribuible a un exceso de meticulosidad del arquitecto egipcio no es en sí una casualidad, pero analicemos las características geométricas que se deducen, y podemos descubrir con asombro que los egipcios hace tres mil años ya conocían y aplicaban el número áureo.

El número de oro aparece, no una vez sino hasta tres veces en relaciones numéricas entre distintos elementos de la pirámide. Así la razón entre la altura de una cara y la mitad del lado de la base es 1'618..., es decir, el número de oro. Pero no acaban aquí las sorpresas, el cociente entre el área total y el área lateral de la pirámide es también el número de oro. Y por si fuera poco, el cociente entre el área lateral y el área de la base sigue siendo el número áureo.

Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro.Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo. A pesar de tener forma convexa, mantiene la relación áurea por sus diagonales, que siguen siendo las de un rectángulo áureo.

Pero no solo se a encontrado las proporciones áureas en la arquitectura de épocas pasadas, sino que Nôtre Damme también posee las características del número Fi que le hace más armoniosa.

Volvemos a encontrarnos con las propiedades divinas del número de oro en la Torre Eiffel en París.

Una de las espirales de Durero más originales y actuales es la de las escaleras del Vaticano que aparecen en la imagen. Esto también demuestra que hoy en día también hay estructuras que se basan en el número áureo.

Y por último, también encontramos las proporciones del rectángulo áureo y sus secciones en el Edificio de la O.N.U en Nueva York.

GEOMETRÍA EN LAS CONSTRUCCIONES CAPRICHOSAS

En este video podemos ver como Oscar Ortega un artista visual, aprovecha el uso de escalas y formas geométricas en obras con formas caprichosas en la ciudad de Tijuana.

https://www.youtube.com/watch?v=7EsuYVrEeow

LA GEOMETRÍA DE LA ARQUITECTURA

Para proyectar se necesita poseer un método gráfico de proyección: la geometría.

Una geometría del diseño arquitectónico, en la que la palabra “diseño” reviste el doble  significado de invención-proyección y de operación gráfica para la construcción de la  propia invención.

 La geometría es pues el instrumento con el que delimitamos, cortamos, precisamos y  formamos el espacio.

En palabras de Giancarlo De Carlo: “La forma tridimensional de la arquitectura no es el exterior de un sólido, sino la  envoltura cóncava y convexa de un espacio; y a su vez el espacio no es el vacío sino el  lugar volumétrico en el que se desenvuelve toda una serie de actividades posibles y  variadas. En consecuencia, en el caso de la arquitectura, la “invención” se refiere a un  “sistema espacial organizado” que experimentamos a través de su utilización y que  percibimos a través de su forma”.

Al ser la reconocibilidad de las formas una condición indispensable para que el  mensaje arquitectónico sea recibido, las formas serán pues tanto más perceptibles y  reconocibles cuanto más sencillas y regulares sean. Es más, los caracteres formales  específicos, intrínsecos, de las figuras geométricas son tan fuertes que generan en el  hombre, cualquiera que sea su grado de evolución, inmediatas e instintivas referencias  simbólicas.

Según el Diccionario de Oxford la geometría es la ciencia de las propiedades y  relaciones de magnitudes en el espacio.

Para el arquitecto es una base y un medio disciplinar, un instrumento indispensable  en el tratamiento de las formas que entran en la “composición” de los espacios.

La geometría es una construcción del cerebro humano, si bien la observación de la  naturaleza nos llevaría a considerarla como un conjunto de leyes que están fuera del  hombre. Al observar los procesos de formación de los minerales y el crecimiento de los  vegetales y de los animales, la racionalidad humana, ha sido capaz de “reconocer”  ciertas formas sencillas, hallando relaciones particulares entre ellas y el interior de ellas,  es decir, construyendo los sistemas de lógica matemática que se llaman geometrías.

“Lo que el hombre hace no puede hacerlo la naturaleza, si bien el hombre, para  hacerlo, se vale de todas las leyes de la naturaleza. Lo que preside la creación, el deseo  de hacerlo, no existe en toda la naturaleza” (Louis Kahn).

Las arquitecturas son creaciones de las que sólo el hombre es capaz, del mismo  modo que creación humana es la geometría; pero se trata de dos cosas distintas, aunque  haya muchas relaciones recíprocas entre ellas. La Geometría y la Arquitectura son  creaciones distintas. La Geometría, que es matemáticas, se ocupa en efecto del espacio  abstracto, mientras que la Arquitectura, que es técnica y arte, se ocupa del espacio concreto, del espacio en relación al hombre, a su presencia como observador, a su  dimensión como beneficiario de ella. 

ESPACIO GEOMÉTRICO Y ARQUITECTÓNICO

El concepto de espacio no es unívoco. Debe abordarse con una gran apertura de ideas. Es espacio arquitectónico no puede reducirse ni al espacio físico ni a la dualidad espacio interior-exterior, ni siquiera al concepto de parcelación habitable.

“El espacio arquitectónico posee un rasgo absolutamente diferencial: es creado por el hombre para el uso del hombre”

Por otro lado, la Geometría elabora modelos matemáticos capaces de describir parcelas concretas del espacio. Cabe considerar así el espacio geométrico, como una aportación teórica, sugerente y clara al estudio de ciertas facetas formales del espacio arquitectónico.

La realización de un proyecto arquitectónico introduce en el ambiente una alteración, una alteración espacial. Volúmenes, superficies, líneas y sus articulaciones plásticas y cromáticas concurren juntas al crear, tanto en el interior como en el exterior del edificio, espacios cuya calidad dependerá también de la relación dimensional con el hombre. El espacio es siempre, en alguna medida, dinámico, precisamente porque es visible y disfrutable desde diferentes puntos de vista, y porque nunca es posible hablar de un solo espacio: por lo menos son dos, el exterior y el interior; pero habitualmente son muchos más, porque hasta un edificio sencillo presenta numerosas articulaciones.

En el exterior, Kahn defiende que se debe buscar la capacidad evocativa que las formas geométricas puras poseen intrínsecamente. El significado debe dejarse implícito, latente, con voluntad de permanecer y nunca quedar del todo explicado. En este sentido es heredero de Wright y de su predilección por las formas y volúmenes elementales. Para entrar en la definición del concepto de espacio arquitectónico, expondré la definición de Nikolaus Pevsner:

“Un cobertizo para guardar bicicletas es un edificio. La catedral de Lincoln es una obra de arquitectura. Todas o casi todas las estructuras que delimitan un espacio de medida suficiente para que se mueva un ser humano, son un edificio... Un edificio puede provocar sensaciones estéticas de tres maneras: La primera de estas maneras es en dos dimensiones; es la manera propia del pintor. Son sensaciones producidas por el tratamiento de la superficie, por las proporciones, por las relaciones de los vacíos con los llenos y por la ornamentación. La segunda, en tres dimensiones, trata el edificio como un volumen, es la manera del escultor. Es estéticamente significativo el tratamiento exterior de un edificio en su conjunto, sus contrastes, los efectos. La tercera manera también es en tres dimensiones, pero se refiere al espacio; mas que las anteriores es propia del arquitecto. Las sensaciones estéticas se provocan por el efecto en nuestros sentidos del tratamiento del interior, la sucesión de los ambientes, el ensanchamiento de una nave en el crucero, el movimiento majestuoso de una escalinata barroca. Lo que distingue la arquitectura de la pintura y de la escultura es su característica espacialidad. En este campo, y sólo en este campo, ningún otro artista puede emular al arquitecto. Por tanto, la historia de la Arquitectura es, ante todo, la historia del hombre que modela el espacio”.

La definición la recoge también Bruno Zevi

“... la pintura actúa en dos dimensiones, aunque pueda sugerir tres o cuatro. La escultura actúa en tres dimensiones, pero el hombre se queda en el exterior, separado. En cambio, la arquitectura es como una gran escultura excavada en cuyo interior el hombre penetra y camina”

Volviendo al proceso proyectual de un edificio, para formular su esquema, el arquitecto deberá emplear un medio de representación preciso y fiable. Este medio se lo proporciona la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, y sobre todo, la GEOMETRÍA EUCLIDEA, que es la geometría base del arquitecto al tratar la economía del espacio, aunque también puede recibir ayuda de otra geometría, la GEOMETRÍA PROYECTIVA, que es la base matemática de la descriptiva.

La arquitectura no puede expresarse ni comunicarse más que con medios gráficos y éstos tienen gran importancia porque, convenientemente elegidos y usados con maestría, pueden efectivamente representar y simular la deseada realidad proyectual. Es muy difícil, por ejemplo, proponer soluciones si no se conoce la geometría de una estructura, por ejemplo. Para el técnico, la forma es una ecuación matemática; para el arquitecto es además proporción, espacio y armonía.

ANTONIO GAUDI

EN EL VÍDEO QUE PRESENTO A CONTINUACIÓN PODEMOS OBSERVAR COMO EL ARQUITECTO ANTONI GAUDI UTILIZA LAS MATEMÁTICAS EN LA CONSTRUCCIÓN DE EL TEMPLO DE LA SAGRADA FAMILIA, EL CUAL ES LA OBRA MAESTRA DE GAUDI Y EL MÁXIMO EXPONENTE DE LA ARQUITECTURA MODERNISTA CATALANA.

http://www.youtube.com/watch?v=4Wq8w251o7k

MATEMATICA MARAVILLOSA

                         ARTE Y ARQUITECTURA

La matemática ha estado vinculada a la arquitectura, la pintura, la escultura, el grabado y la música, desdela antigüedad

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Los egipcios (III milenio a.C.) se valieron de triángulos rectángulos, cuadrados, pirámides y de otros contenidos matemáticos, con el fin de construir con precisión sus famosas pirámides.

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Ya en la época de Pitágoras (s.VIa.C.) se estableció una relación aritmética de las fracciones positivas con la música, creando así la escala pitágorica.

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Asimismo, los griegos utilizaron, para sus decoraciones y construcciones,  los frisos o bandas

y las proporciones como el número de oro.

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Los arquitectos romanos usaron ampliamente, en sus construcciones, las circunferencias, las semicircunferencias, los arcos y los hemisferios.

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El arte islámico tiene gran riqueza en contenidos geométricos, como en el caso de frisos (cenefas o grecas) y teselaciones.

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En nuestro continente podemos
mencionar los frisos mayas.

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Arquitectura en el mundo

A continuación presentare un vídeo para con las construcciones mas importantes del mundo para comprender mejor la importancia de las matemáticas en el diseño arquitectónico.

http://www.youtube.com/watch?v=iVRK6G4kmVU

LA IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN EL DISEÑO

El mundo de las matemáticas y la geometría forma parte de nuestra vida cotidiana aunque no nos demos cuenta. Proponemos un análisis diferente de objetos, edificaciones, arte, vídeo juegos, música… que hará descubrir curiosidades y grandes propiedades del campo matemático.Hoy en día estamos rodeados de objetos y construcciones “de diseño”, pero, ¿cuál es el elemento que poseen para ser tan atractivos o simplemente construibles? La respuesta la encontramos en las matemáticas, concretamente en el álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal.

A continuación expondré las propiedades y funciones matemáticas mas empleadas en diseño y construcción desde tiempos antiguos.

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Torre Eiffel (1889)

Esta estructura de hierro pudelado diseñada por Gustave Eiffel aplica el álgebra y el cálculo infinitesimal para desarrollar una ecuación adaptable al peso de la torre. Para hacernos una idea de cómo se aplica, antes se debe comprender qué es una ecuación exponencial.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en el exponente, representada por una función exponencial, es decir, una gráfica que nos muestra su desarrollo. Las funciones son infinitas, pero acercándonos siempre a un límite conocido por asíntotas dándose el 0 (plano horizontal del suelo) y +∞ (el eje vertical de la torre). 

El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la torre. Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la Torre. Weidman encontró una solución exacta de la ecuación en forma de una función exponencial que se ajusta rigurosamente a la forma de la mitad superior de la torre.

La clave para su solución deriva de dos ecuaciones exponenciales diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad de la estructura en su base.

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Olympiapark (1972)

La villa Olímpica, de 3 kilómetros cuadrados, fue construida en un terreno plano utilizado por el ejército hasta 1925 que se convirtió en parte del aeropuerto de Munich. Después de la Segunda Guerra Mundial en 1945, los escombros de la ciudad fueron trasladados aquí, formando la base del paisaje de colinas del parque olímpico. Empleado para las olimpiadas de Múnich 1972.

Construido por Günther Behmisch y Frei Otto & Partners, habiendo pasado a la historia por emplear complejas estructuras que interconectan mútliples paraboloides hiperbólicos, mi superficie favorita. Antes de entrar en el análisis del Olympiapark explicare una curiosidad de esta superficie cuádrica. El paraboloide hiperbólico también es conocido como “silla de montar”, precisamente porque las monturas de los caballos poseen esta forma para adaptarse al lomo del mismo y suponer una comodidad para el jinete impidiendo que se deslice adelante o atrás. Esta superficie tiene un punto muy característico denominado “punto de ensilladura” que es a la vez máximo y mínimo de la superficie; es decir, que es el punto más alto de una parábola, y a su vez el más bajo de la otra.

Las cubiertas de la villa olímpica de Múnich tienen aspecto de “tela estirada” y tensada por unas grúas, aunque en realidad son estructuras metálicas formando una malla revestidas por un tejido de poliéster recubierto de PVC (muy a la estética de los años 70). Este tipo de estructuras se dispersan a lo largo de toda la villa conformando parasoles de cara al verano, aunque también como resguardo de las lluvias características de la región, sin perder la luminosidad que nos ofrecen los rayos de sol que se filtran entre las nubes. Es toda una experiencia pasear bajo estas “tiendas de campaña” un día lluvioso y observar el recorrido de las gotas de agua.

Hoy en día el conjunto conforma un parque público para la ciudad de Múnich, compuesto por: una pista de una pista de hielo, una piscina cubierta, una zona residencial, residencias de estudiantes y el Estadio Olímpico, que fue el hogar del FC Bayern München, hasta que se trasladó al futurista Allianz Arena en 2006.

MATEMATICAS Y GEOMETRIA

“Toda creación arquitectónica es geometría.”

Desde la antigüedad es bien sabido que las matemáticas eran utilizadas para todos los acontecimientos del día a día de las civilizaciones antiguas. Aunque fueran un estilo matemático sencillo, era necesario para resolver diferentes tipos de problemas diarios, como las cantidades necesarias de alimento para las familias o las medidas para hacer los palacios y grandes pirámides egipcias. Y es aquí en donde podemos observar en detalle que tan importantes son las matemáticas en la arquitectura. 

La arquitectura es el arte y técnica de proyectar estructuras y espacios que forman el entorno humano. La palabra «arquitectura» proviene del griego αρχ (arch, cuyo significado es ‘jefe’, ‘quien tiene el mando’), y τεκτων (tekton, es decir, ‘constructor’ o ‘carpintero’). Así, para los antiguos griegos el arquitecto es el jefe o el director de la construcción y la arquitectura es la técnica o el arte de quien realiza el proyecto y dirige la construcción de los edificios y estructuras, ya que la palabra Τεχνη (techne) significa ‘saber hacer alguna cosa’.

 
Partiendo de esta definición sabemos que la arquitectura es el arte de diseñar y para diseñar no solo se necesita el talento artístico; se necesita comprender las necesidades que se trata de satisfacer al hacer la estructura y qué tipo de recursos, tanto económicos como materiales, serán necesarios para que esta se haga realidad. La funcionalidad de la estructura, también, es un carácter importante que debe ser estudiado a fondo antes de comenzar a trabajar con el proyecto.

 

¿Que tiene que ver la matemática con todo esto? 

No existe una sola estructura que no tenga una figura geométrica. Las figuras geométricas son conjuntos cuyos elementos son puntos y forman parte de la Geometría que es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el espacio o en un plano. Se puede imaginar una grandiosa estructura diseñada para adornar visualmente una ciudad pero no se puede construir un edificio con forma de rectángulo en un área circular. El conocimiento de las figuras geométricas puede ayudar a saber qué tipo de estructura funcionaria en cierto lugar o no. 

Dentro de las matemáticas también se encuentran las unidades de medida, que son cantidades estandarizadas de ciertos tipos de magnitud física. Es necesario saber las unidades de medición porque estas nos proveen una forma clara de saber, por ejemplo, en la arquitectura, si es más viable utilizar metal y cemento en vez de madera para construir lo que será una torre llena de oficinas. Las medidas también pueden ayudar a construir estructuras resistentes pero a su vez livianas, incluso flexibles lo cual podría, en caso de alguna emergencia (terremoto), salvar la vida de las personas que se encuentran dentro del edificio. 

Incluso para saber cómo disminuir costos en la obra, es necesario usar las matemáticas. Tanto en los materiales a usarse, como en permisos gubernamentales y mano de obra humana, es necesario conocer los costos y la cantidad exacta que se necesita de materiales, mano de obra y tiempo para construir las edificaciones en el menor tiempo posible pero de la manera más segura y efectiva. 

Si bien es cierto que la arquitectura es imaginación y arte, también es cierto que las líneas y figuras expresadas en ese arte tienen medidas y cantidades exactas que terminan formando una estructura. Lo maravilloso de las matemáticas en este arte, es que proveen los elementos necesarios para que una obra de arte imaginada pueda volverse concreta. Ya sea en el diseño o en la construcción de la obra, los números están presentes de diferentes formas y esta es la aplicación de las matemáticas en la arquitectura.

LAS MATEMÁTICAS EN RELACIÓN CON LA ARQUITECTURA

La Arquitectura pertenece al área de físico- matemáticas y desde ahí se percibe que las matemáticas son de gran uso en esta área. El objetivo principal de la Arquitectura es el construir las formas volumétricas que ordenan los espacios en que se desarrollan las funciones de la vida humana, y para ello, usa la geometría euclídea pero no a nivel funcional o constructivo, sino estético desde el minimalismo actual hasta las proporciones clásicas.

Este tipo de geometría, propone una nueva relación de la arquitectura con otras geometrías. Se disertó sobre las matemáticas de geometrías distintas a la euclídea, llamándose geometría visual o proyectiva. Se propone también como parte de la geometría pre-euclídea, los cálculos abstractos, con números infinitos y sobre todo los “no dibujables”.  La arquitectura se  define como arte que se mueve o que debe moverse en la cualidad, la intuición, de la figuración y de la sensibilidad geométrica.

“Gracias a las Matemáticas el arquitecto tiene hoy día más libertad de diseño”

Las matemáticas tienen una gran aplicación directa en arquitectura. Porque antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico, parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada, y  no es exactamente así. Las matemáticas también pueden ayudar, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Los arquitectos siempre aprovechan superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo.

Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la paraboloide hiperbólico. El paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos en donde las curvas cónicas  (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante “Los Manantiales” (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.Las matemáticas a través de dimensiones y formas completan el diseño de un edificio y le confieren una belleza aceptada universalmente y Arquitectónicamente.

Las Matemáticas se encuentran presentes en las plantas y elementos decorativos de los edificios que nos rodean. Basta con situarnos delante de uno de ellos y contemplarlo con detenimiento, para observar que el orden que se refleja en su imagen arquitectónica está íntimamente relacionado con la inserción en el mismo de figuras geométricas, y con la existencia de relaciones entre los elementos de éstas, de forma que la composición arquitectónica está estrechamente ligada a las matemáticas, y a la geometría. Saber ver la arquitectura es, en cierto modo, descubrir en ella la perfección que le confiere su diseño geométrico y su ordenamiento matemático.