Ecuaciones IV

Ecuaciones multiplicativas

Para resolver ecuaciones de la forma  a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice textualmente: "Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene."

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

Los pasos son los siguientes:

1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).

Ejemplo:    15 • x   =   75  /  :15   (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)
15 • x : 15   =   75  :  15

2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.
Reordenado los números se tiene:    15 : 15 • x  =   75  : 15
                                                                   1 • x     =    5
                                                                        x     =    5

Ecuaciones III

Resolución de Ecuaciones aditivas

Existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b
Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a · x = b

Ecuaciones aditivas: a + x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad de las igualdades, que textualmente dice: "Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene."

Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:

1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).

2. Se realiza la operación indicada.

Ejemplo:                   28 + x = 13   / –28

El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.

                  28 + x + –28 = 13 + –28

Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.

                  28 + –28 = 0

Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).

                 13 + –28 = –15

Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que: 

                  28 + x = 13     /  –28

           28 + x +–28= 13 + –28

                    x + 0  =  –15

                            x =  –15

Ecuaciones II

Clasificación de las Ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable).

Pero veamos que significa Grado, en álgebra.

El grado de un monomio  o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes  de las  variables (referido a los números que indican la potencia de la variable; dicho en simple,  al numerito chico arriba de las letras).

Entonces, el grado puede referirse a un monomio o a un polinomio, y para cada uno puede ser absoluto o relativo.

Grado absoluto de un monomio

El grado absoluto o de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras o variables.

El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6

Grado absoluto de un polinomio

El grado absoluto de un polinomio está dado por aquel del término con más alto valor absoluto de todos los que componen la expresión o polinomio

El grado absoluto de 6x³y⁴z² + x⁵y² es: 3 + 4 + 2 = 9  (que es el valor absoluto del término 6x³y⁴z²) .

Nota: Cuando una variable  (una letra) no posee exponente, se entiende que es 1, que no se escribe pero que se considera para la suma de exponentes de un término.

Así:

El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6 (el exponente de z es 1)

Grado relativo

El grado relativo de un monomio se refiere al valor que arroje la suma de los exponentes de variables iguales:

Así, en el término 5x³y²z⁵

El grado relativo a x es 3

El grado relativo a y es 2

El grado relativo a z es 5

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación lo marca el monomio (o término) de mayor grado absoluto.

5x + 3 = 2x +1          Ecuación de primer grado (cada término posee solo una incógnita y su exponente es uno).

5x + 3 = 2x² + x        Ecuación de segundo grado.

5xy + 3 = 2xy + x      Ecuación de segundo grado. (El grado del monomio 5xy es 2)

5x³ + 3 = 2x +x²        Ecuación de tercer grado.

5x²y + 3 = 2x + x²y    Ecuación de tercer grado (El grado del monomio 5x²y es 3)

5x³ + 3 = 2x⁴ +1        Ecuación de cuarto grado.

Resumiremos lo anterior en el siguiente cuadro:

ECUACIÓN	INCÓGNITA	EXPONENTE	GRADO
8x + 38 = 29	x	1	1°
4y 2 + 12 = 6y	y	2	2°
4xy +12 = 6xy	xy	1 + 1 = 2	2º
z 3 - 8z 2 + z = 7	z	3	3°
z2y - 12 + z = 7zy	zy	2 + 1 = 3	3º
x 4 - 17x 2 + 16 = 0	x	4	4°

Ecuaciones I

Concepto de ecuación

Una Ecuación está definida por el número de términos, incógnitas, grado del exponente, o sistemas de agrupación.

Una ecuación se define como una igualdad constante, el mejor ejemplo para poder hacer referencia de una ecuación con cualquier objeto es una balanza, ya que cualquier modificación en cualquiera de las partes de la balanza afectará el nivel de igualdad que existe entre la pesa y lo que se va a pesar. 

Las ecuaciones encuentran presentes en la vida cotidiana de una manera muy sencilla por ejemplo:

Cuando vas a la tienda a comprar algo, el tendero te indica el precio de lo que quieres comprar; mientras que tú calculas rápidamente cuánto es el dinero necesario para pagar el precio de lo que quieres comprar.

Durante ésa operación tan rápida y tan cotidiana tú estás determinando una incógnita en este caso es el cambio que te tiene que regresar el tendero resultado de la diferencia entre el precio de lo que quieres comprar y lo que vas a pagar.

Tratando de seguir con el mismo ejemplo si tú quisieras modificar alguno de los tres elementos, por ejemplo, cambiar el número de objetos que quieres comprar en este caso de un objeto comprar dos, automáticamente tú tienes que modificar el cálculo, de este modo estás afectando la propiedad de la ecuación para que al mismo tiempo mantenga su igualdad.